6- \int_{1}^{4} 7 x^{6} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} 7x^{6}\,dx.
O conteúdo necessário é a regra de potência para integrais:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
e o fato de que constantes saem da integral.

Passo 2

Retiramos a constante 7 para fora da integral:
\int_{1}^{4} 7x^{6}\,dx = 7 \int_{1}^{4} x^{6}\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência com n=6:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Logo,
7 \int_{1}^{4} x^{6}\,dx = 7 \cdot \left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{1}^{4}.

Passo 4

O fator 7 cancela:
7 \cdot \frac{x^{7}}{7} = x^{7}.
Agora avaliamos de 1 a 4:
\bigl[x^{7}\bigr]_{1}^{4} = 4^{7} - 1^{7} = 16384 - 1 = 16383.

Resposta

\int_{1}^{4}7x^{6}\,dx = 16383.

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