Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função
, isto é, encontrar uma função
tal que
Informações dadas:
- A integral a ser calculada é
. - Devemos incluir a constante de integração
no resultado final.
Passo 2
Observação útil sobre potências ímpares de cosseno: quando a potência de cosseno é ímpar podemos separar um fator
e transformar o restante usando a identidade pitagórica. Primeiro escrevemos
A identidade pitagórica é
logo podemos reescrever
Essas duas manipulações são padrão porque deixam um fator
que combina bem com a substituição
.
Passo 3
Aplicando as substituições acima, a integral fica
Agora fazemos a substituição
. Então
Portanto a integral em
se transforma em uma integral em
:
Passo 4
Expandimos o polinômio para integrar termo a termo:
Logo
Passo 5
Integramos cada termo usando regras básicas:
-
. -
. -
.
Aplicando essas antiderivadas com os coeficientes:
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, obtemos a primitiva:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (dica de prova): derivando
obtemos
confirmando que
.