\int \cos ^{5} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função \cos^{5} x, isto é, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=\cos^{5}x.
Informações dadas:
  • A integral a ser calculada é \displaystyle \int \cos^{5}x\,dx.
  • Devemos incluir a constante de integração C no resultado final.

Passo 2

Observação útil sobre potências ímpares de cosseno: quando a potência de cosseno é ímpar podemos separar um fator \cos x e transformar o restante usando a identidade pitagórica. Primeiro escrevemos
\cos^{5}x=\cos^{4}x\cos x=(\cos^{2}x)^{2}\cos x.
A identidade pitagórica é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
logo podemos reescrever
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
Essas duas manipulações são padrão porque deixam um fator \cos x\,dx que combina bem com a substituição u=\sin x.

Passo 3

Aplicando as substituições acima, a integral fica
\int \cos^{5}x\,dx=\int (\cos^{2}x)^{2}\cos x\,dx=\int (1-\sin^{2}x)^{2}\cos x\,dx.
Agora fazemos a substituição u=\sin x. Então
du=\cos x\,dx.
Portanto a integral em x se transforma em uma integral em u:
\int (1-\sin^{2}x)^{2}\cos x\,dx=\int (1-u^{2})^{2} du.

Passo 4

Expandimos o polinômio para integrar termo a termo:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Logo
\int (1-u^{2})^{2} du=\int \bigl(1-2u^{2}+u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos cada termo usando regras básicas:
  • \displaystyle \int 1\,du = u.
  • \displaystyle \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
Aplicando essas antiderivadas com os coeficientes:
\int \bigl(1-2u^{2}+u^{4}\bigr)\,du = u - 2\cdot\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C = u - \frac{2}{3}u^{3} + \frac{1}{5}u^{5} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando u=\sin x, obtemos a primitiva:
F(x)=\sin x - \frac{2}{3}\sin^{3}x + \frac{1}{5}\sin^{5}x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (dica de prova): derivando F(x) obtemos
F'(x)=\cos x - 2\sin^{2}x\cos x + \sin^{4}x\cos x=\cos x\bigl(1-2\sin^{2}x+\sin^{4}x\bigr)=\cos x(1-\sin^{2}x)^{2}=\cos x(\cos^{2}x)^{2}=\cos^{5}x,
confirmando que F'(x)=\cos^{5}x.

Resposta

\sin x - \dfrac{2}{3}\sin^{3}x + \dfrac{1}{5}\sin^{5}x + C

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