Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede a integral indefinida da função
em relação a . - As constantes são
, , e . Essas letras NÃO dependem de . - A variável de integração é
. - Resultado esperado: uma primitiva (antiderivada) mais a constante de integração (digamos
).
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
-
Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Em símbolos:onde
é constante (não depende de ). -
Regra do poder (power rule) para integrar potências de
: para , Aqui usaremos isso para. Por exemplo, , , etc.
Passo 3
Aplicar a linearidade para isolar a constante
. Como
é constante, pode sair da integral:
Passo 4
Expandir o produto
para integrar termo a termo:
Portanto
Passo 5
Integrar cada termo usando a regra do poder e a propriedade de constantes:
Somando esses resultados e lembrando do fator
que estava fora:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (derivando a primitiva encontrada para checar): derivando
obtém-se
que é exatamente a função integranda original. Confere!