Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{t\left(A-B t+C t^{2}\right)}{D} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede a integral indefinida da função \displaystyle \frac{t\left(A-B t+C t^{2}\right)}{D} em relação a t.
  • As constantes são A, B, C e D. Essas letras NÃO dependem de t.
  • A variável de integração é t.
  • Resultado esperado: uma primitiva (antiderivada) mais a constante de integração (digamos K).

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Em símbolos:
    \int (f(t)+g(t))\,dt = \int f(t)\,dt + \int g(t)\,dt, \qquad \int c\cdot f(t)\,dt = c\int f(t)\,dt,
    onde c é constante (não depende de t).
  • Regra do poder (power rule) para integrar potências de t: para n\neq -1,
    \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + \text{constante}.
    Aqui usaremos isso para n=1,2,3. Por exemplo, \int t\,dt = \dfrac{t^{2}}{2}, \int t^{2}\,dt = \dfrac{t^{3}}{3}, etc.

Passo 3

Aplicar a linearidade para isolar a constante 1/D. Como D é constante, pode sair da integral:
\int \frac{t\left(A-B t+C t^{2}\right)}{D}\,dt = \frac{1}{D}\int t\left(A-B t+C t^{2}\right)\,dt.

Passo 4

Expandir o produto t\left(A-B t+C t^{2}\right) para integrar termo a termo:
t\left(A-B t+C t^{2}\right) = A t - B t^{2} + C t^{3}.
Portanto
\frac{1}{D}\int t\left(A-B t+C t^{2}\right)\,dt = \frac{1}{D}\int \bigl(A t - B t^{2} + C t^{3}\bigr)\,dt.

Passo 5

Integrar cada termo usando a regra do poder e a propriedade de constantes:
  • \displaystyle \int A t\,dt = A\int t\,dt = A\cdot\frac{t^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int (-B t^{2})\,dt = -B\int t^{2}\,dt = -B\cdot\frac{t^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int C t^{3}\,dt = C\int t^{3}\,dt = C\cdot\frac{t^{4}}{4}.
Somando esses resultados e lembrando do fator \dfrac{1}{D} que estava fora:
\frac{1}{D}\left(\frac{A t^{2}}{2} - \frac{B t^{3}}{3} + \frac{C t^{4}}{4}\right) + K,
onde K é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (derivando a primitiva encontrada para checar): derivando
F(t)=\frac{1}{D}\left(\frac{A t^{2}}{2} - \frac{B t^{3}}{3} + \frac{C t^{4}}{4}\right)
obtém-se
F'(t)=\frac{1}{D}\left(A t - B t^{2} + C t^{3}\right),
que é exatamente a função integranda original. Confere!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{D}\left(\frac{A t^{2}}{2} - \frac{B t^{3}}{3} + \frac{C t^{4}}{4}\right) + K

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