Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{e^{t}+e^{2 t}}{e^{t}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{t}+e^{2 t}}{e^{t}}\,dt.
Informações dadas: a variável de integração é t. Elementos que não variam em relação a t são considerados constantes (aqui não há outras variáveis). O objetivo é encontrar uma primitiva da função integranda.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando usando propriedades de exponenciais. Lembrando que, para quaisquer números reais a e b,
\frac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b},
e que e^{t} nunca é zero (logo a divisão é válida). Aplicando isso ao integrando:
\frac{e^{t}+e^{2t}}{e^{t}}=\frac{e^{t}}{e^{t}}+\frac{e^{2t}}{e^{t}}=e^{0}+e^{2t-t}=1+e^{t}.
Portanto a integral fica
\int \frac{e^{t}+e^{2 t}}{e^{t}}\,dt=\int\bigl(1+e^{t}\bigr)\,dt.

Passo 3

Vamos lembrar duas regras básicas de integração que usaremos:
  1. Linearidade: para funções f e g,
\int\bigl(f(t)+g(t)\bigr)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt.
  1. Primitivas elementares:
\int 1\,dt=t+C_1, \qquad \int e^{t}\,dt=e^{t}+C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração. Mais geralmente, \int e^{a t}\,dt=\dfrac{1}{a}e^{a t}+C para a\neq0.

Passo 4

Aplicando a linearidade à integral já simplificada:
\int\bigl(1+e^{t}\bigr)\,dt=\int 1\,dt+\int e^{t}\,dt.
Usando as primitivas conhecidas:
\int 1\,dt=t+C_1, \qquad \int e^{t}\,dt=e^{t}+C_2.
Somando as duas primitivas obtemos t+C_1+e^{t}+C_2.

Passo 5

Como C_1 e C_2 são constantes arbitrárias, sua soma também é uma constante arbitrária que chamamos simplesmente de C. Assim a primitiva geral pode ser escrita como
t+e^{t}+C.

Resposta

t+e^{t}+C

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