1. \int \cos ^{2} x \operatorname{sen}^{3} x d x (resp. \quad \frac{1}{5} \cos ^{5} x-\frac{1}{3} \cos ^{3} x+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}x\,\sin^{3}x \,dx.
Estamos em Cálculo Integral, e vamos usar a técnica de redução de potências junto com a substituição u=\cos x, pois aparece \sin^3 x, um expoente ímpar de seno.

Passo 2

Separe a potência ímpar de seno escrevendo
\sin^{3}x = \sin^{2}x \,\sin x = \bigl(1 - \cos^{2}x\bigr)\sin x.
Assim o integrando fica em função de \cos x vezes \sin x.

Passo 3

Reescreva a integral usando essa identidade:
\int \cos^{2}x\,\sin^{3}x \,dx = \int \cos^{2}x\,(1 - \cos^{2}x)\,\sin x \,dx.

Passo 4

Faça a substituição
u = \cos x, \quad du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
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\int \cos^{2}x\,(1 - \cos^{2}x)\,\sin x \,dx = \int u^{2}\,(1 - u^{2})(-\,du) = -\int \bigl(u^{2} - u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Distribua o sinal e integre termo a termo:
-\int \bigl(u^{2} - u^{4}\bigr)\,du = -\int u^{2}\,du + \int u^{4}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 6

Volte à variável x com u=\cos x:
-\frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{\cos^{5}x}{5} + C = \frac{1}{5}\cos^{5}x \;-\;\frac{1}{3}\cos^{3}x + C.

Resposta

\int \cos^{2}x\,\sin^{3}x \,dx = \frac{1}{5}\cos^{5}x \;-\;\frac{1}{3}\cos^{3}x + C.

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