1. \int d x /\left(x^{4}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{dx}{x^{4}-1}.
Informações úteis que o problema dá (ou que podemos observar imediatamente):
  • O integrando é uma função racional, isto é, quociente de polinômios.
  • O denominador x^{4}-1 é um polinômio de quarto grau que pode ser fatorado em fatores de grau 1 e 2 reais:
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
  • O grau do numerador (zero) é menor que o do denominador (quatro), então é apropriado tentar decompor em frações parciais para integrar.

Passo 2

Ideia geral (a técnica que vamos usar, explicada didaticamente): para integrar uma fração racional cujo denominador se fatorou em fatores lineares reais e fatores quadráticos irreducíveis, escrevemos a decomposição em frações parciais. Cada fator linear (x-a) corresponde a uma parcela do tipo \dfrac{A}{x-a} e cada fator quadrático irredutível (x^{2}+1) corresponde a uma parcela do tipo \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}. Assim, escrevemos a identidade com constantes desconhecidas:
\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Explicando: A,B,C,D são constantes reais que vamos determinar; uma vez encontradas, cada parcela tem primitiva conhecida (logaritmo ou arco-tangente), então podemos integrar termo a termo.
Multiplicando os dois lados por x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
1 = A(x+1)(x^{2}+1)+B(x-1)(x^{2}+1)+(Cx+D)(x^{2}-1).

Passo 3

Agora determinamos [A,B,C,D) de forma prática e didática.
  1. Avaliando a identidade em x=1 (assim alguns termos se anularão):
1 = A(1+1)(1^{2}+1) + B\cdot 0 + (C\cdot1 + D)\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = A\cdot 2 \cdot 2 = 4A.
Logo
A=\frac{1}{4}.
  1. Avaliando em x=-1:
1 = A\cdot 0 + B(-1-1)((-1)^{2}+1) + (C(-1)+D)\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = B\cdot(-2)\cdot 2 = -4B.
Logo
B=-\frac{1}{4}.
  1. Para encontrar C e D podemos comparar coeficientes. Primeiro, vamos expandir a soma dos termos do lado direito (organizando por potências de x). Calculando cada parcela:
A(x+1)(x^{2}+1)=A(x^{3}+x^{2}+x+1),
B(x-1)(x^{2}+1)=B(x^{3}-x^{2}+x-1),
(Cx+D)(x^{2}-1)=Cx^{3}+Dx^{2}-Cx-D.
Somando:
\begin{aligned} \text{soma} &= (A+B+C)\,x^{3} + (A-B+D)\,x^{2} + (A+B-C)\,x + (A-B-D). \end{aligned}
Essa soma deve ser igual ao polinômio constante 1, isto é, coeficiente de x^{3},x^{2},x devem ser zero e o termo constante deve ser 1. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] A-B+D=0,\\[4pt] A+B-C=0,\\[4pt] A-B-D=1. \end{cases}
Usando os valores que já temos A=\dfrac{1}{4}\] e \(B=-\dfrac{1}{4}:
  • Da primeira equação A+B+C=0 segue
C = -A - B = -\frac{1}{4} -\left(-\frac{1}{4}\right) = 0.
  • Da segunda equação A-B+D=0 segue
D = -A + B = -\frac{1}{4} +\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}.
(As outras equações servem apenas como verificação e de fato se satisfazem com esses valores.)
Portanto a decomposição ficou:
\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.]

Passo 4

Agora integramos termo a termo, explicando por que cada primitiva é aquela.
Lembretes de integrais básicas (com explicação curta):
  • Para \dfrac{1}{x-a} a primitiva é \ln|x-a| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. O valor absoluto aparece para lidar com sinais de x-a.
  • Para \dfrac{1}{x^{2}+1} a primitiva é \arctan x porque \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Aplicando a integração a cada parcela:
\int \frac{dx}{x^{4}-1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+1}.
Usando as primitivas:
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x-1}=\frac{1}{4}\ln|x-1|,\qquad -\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+1}=-\frac{1}{4}\ln|x+1|,
-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+1}=-\frac{1}{2}\arctan x.
Portanto (antes de simplificar logs) a primitiva é a soma dessas três parcelas mais a constante de integração C.

Passo 5

Podemos escrever os dois logaritmos como um único log (opcional) usando propriedades de logaritmo:
\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{1}{4}\ln|x+1|=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Assim a primitiva simplificada fica
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2}\arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2}\arctan x + C

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