O enunciado pede a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{dx}{x^{4}-1}.
Informações úteis que o problema dá (ou que podemos observar imediatamente):
O integrando é uma função racional, isto é, quociente de polinômios.
O denominador x^{4}-1 é um polinômio de quarto grau que pode ser fatorado em fatores de grau 1 e 2 reais:
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
O grau do numerador (zero) é menor que o do denominador (quatro), então é apropriado tentar decompor em frações parciais para integrar.
Passo 2
Ideia geral (a técnica que vamos usar, explicada didaticamente): para integrar uma fração racional cujo denominador se fatorou em fatores lineares reais e fatores quadráticos irreducíveis, escrevemos a decomposição em frações parciais. Cada fator linear (x-a) corresponde a uma parcela do tipo \dfrac{A}{x-a} e cada fator quadrático irredutível (x^{2}+1) corresponde a uma parcela do tipo \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}. Assim, escrevemos a identidade com constantes desconhecidas:
Explicando: A,B,C,D são constantes reais que vamos determinar; uma vez encontradas, cada parcela tem primitiva conhecida (logaritmo ou arco-tangente), então podemos integrar termo a termo.
Multiplicando os dois lados por x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
Para encontrar C e D podemos comparar coeficientes. Primeiro, vamos expandir a soma dos termos do lado direito (organizando por potências de x). Calculando cada parcela:
Essa soma deve ser igual ao polinômio constante 1, isto é, coeficiente de x^{3},x^{2},x devem ser zero e o termo constante deve ser 1. Assim obtemos o sistema