1. \int\left(x^{2}+1\right) /\left(x^{3}+x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas que vou usar:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{2}+1}{x^{3}+x}.
  • O denominador pode ser fatorado: x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
  • A integral é indefinida, logo o resultado terá uma constante de integração C.
  • Atenção ao domínio: a função original não está definida em x=0 porque o denominador se anula aí.

Passo 2

Vou simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Usando a fatoração indicada:
\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}=\frac{x^{2}+1}{x\,(x^{2}+1)}.
Se x^{2}+1\neq0 (o que é verdade para todo x real, pois x^{2}+1\ge1), podemos cancelar o fator x^{2}+1 no numerador e no denominador, obtendo
\frac{x^{2}+1}{x\,(x^{2}+1)}=\frac{1}{x},\qquad x\neq0.
Portanto, para x\neq0 o integrando é simplesmente \dfrac{1}{x}.

Passo 3

Agora uso a antiderivada conhecida de \dfrac{1}{x}. Regra básica:
  • A derivada de \ln|x| é \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0.
    Logo uma primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Assim,
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Juntando os passos: como o integrando original é igual a \dfrac{1}{x} para x\neq0, a integral pedida é
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}\,dx=\ln|x|+C,\qquad x\neq0.
Observação sobre o domínio: a primitiva \ln|x|+C é válida em cada intervalo onde a função integranda é contínua, isto é, em (-\infty,0) e em (0,\infty). Em cada uma dessas componentes a constante C pode tomar valores distintos, mas escrevemos a resposta compacta com uma única constante C.

Passo 5

(Método alternativo — reforço didático usando frações parciais) Se quiser ver por frações parciais, escrevemos
\frac{x^{2}+1}{x\,(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando por x(x^{2}+1) obtemos
x^{2}+1 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)x.
Comparando coeficientes ou colocando valores, toma-se x=0 e obtém 1=A. Expandindo e comparando os termos em x^{2}, x e termo constante confirma-se A=1 e B=0, C=0. Assim o integrando é \dfrac{1}{x} e seguimos como antes para chegar em \ln|x|+C. Este método é útil quando a simplificação direta não é tão óbvia.

Resposta

\ln|x|+C

Exercícios relacionados