Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas que vou usar:
- O integrando é a função racional
. - O denominador pode ser fatorado:
. - A integral é indefinida, logo o resultado terá uma constante de integração
. - Atenção ao domínio: a função original não está definida em
porque o denominador se anula aí.
Passo 2
Vou simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Usando a fatoração indicada:
Se
(o que é verdade para todo
real, pois
), podemos cancelar o fator
no numerador e no denominador, obtendo
Portanto, para
o integrando é simplesmente
.
Passo 3
Agora uso a antiderivada conhecida de
. Regra básica:
- A derivada de
é para .
Logo uma primitiva deé . Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Juntando os passos: como o integrando original é igual a
para
, a integral pedida é
Observação sobre o domínio: a primitiva
é válida em cada intervalo onde a função integranda é contínua, isto é, em
e em
. Em cada uma dessas componentes a constante
pode tomar valores distintos, mas escrevemos a resposta compacta com uma única constante
.
Passo 5
(Método alternativo — reforço didático usando frações parciais) Se quiser ver por frações parciais, escrevemos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes ou colocando valores, toma-se
e obtém
. Expandindo e comparando os termos em
,
e termo constante confirma-se
e
,
. Assim o integrando é
e seguimos como antes para chegar em
. Este método é útil quando a simplificação direta não é tão óbvia.