Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) desta função, ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Escolha da técnica: para integrais que têm a forma
a substituição trigonométrica é a mais direta. Vou usar a substituição
porque aqui
(pois
). Explico o porquê: com
aparece
, o que simplifica a raiz envolvendo
.
Calcule
:
Passo 3
Transformar o denominador com a substituição. Primeiro,
Logo
Calcule a potência:
. Como
, obtemos
Agora substituímos tudo na integral:
Simplificando fatores:
Portanto a integral virou
Passo 4
Integrar em
é imediato:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
. Tínhamos
, logo
. Para obter
em função de
use uma relação trigonométrica ou um triângulo retângulo:
Se
, podemos tomar oposto
e adjacente
. Assim a hipotenusa vale
. Então
Substituindo em
obtemos a primitiva em
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil para prova): derivando
deve retornar o integrando. Calcule
com regra do produto/quotient:
Derivando:
Simplificando:
Confere certinho com o integrando.