1. \int d x /\left(x^{2}+4\right)^{\wedge}(3 / 2)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) desta função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{(x^{2}+4)^{3/2}}.

Passo 2

Escolha da técnica: para integrais que têm a forma \dfrac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} a substituição trigonométrica é a mais direta. Vou usar a substituição
x = 2\tan t,
porque aqui a=2 (pois x^{2}+4 = x^{2}+2^{2}). Explico o porquê: com x=2\tan t aparece \tan^{2}t+1=\operatorname{sec}^{2}t, o que simplifica a raiz envolvendo x^{2}+4.
Calcule dx:
dx = 2\operatorname{sec}^{2}t\,dt.

Passo 3

Transformar o denominador com a substituição. Primeiro,
x^{2}+4 = 4\tan^{2}t + 4 = 4(\tan^{2}t+1) = 4\operatorname{sec}^{2}t.
Logo
\left(x^{2}+4\right)^{3/2} = \left(4\operatorname{sec}^{2}t\right)^{3/2}.
Calcule a potência: \left(4\operatorname{sec}^{2}t\right)^{3/2} = 4^{3/2}\,\operatorname{sec}^{3}t. Como 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8, obtemos
\left(x^{2}+4\right)^{3/2} = 8\operatorname{sec}^{3}t.
Agora substituímos tudo na integral:
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{8\operatorname{sec}^{3}t}.
Simplificando fatores:
\frac{2\operatorname{sec}^{2}t}{8\operatorname{sec}^{3}t}=\frac{2}{8}\frac{\operatorname{sec}^{2}t}{\operatorname{sec}^{3}t}=\frac{1}{4}\frac{1}{\operatorname{sec} t}=\frac{1}{4}\cos t.
Portanto a integral virou
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}} = \int \frac{1}{4}\cos t\,dt.

Passo 4

Integrar em t é imediato:
\int \frac{1}{4}\cos t\,dt = \frac{1}{4}\sin t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x. Tínhamos \,x=2\tan t, logo \tan t = \dfrac{x}{2}. Para obter \sin t em função de x use uma relação trigonométrica ou um triângulo retângulo:
Se \tan t=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\dfrac{x}{2}, podemos tomar oposto =x e adjacente =2. Assim a hipotenusa vale \sqrt{x^{2}+4}. Então
\sin t = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Substituindo em \dfrac{1}{4}\sin t + C obtemos a primitiva em x:
F(x) = \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil para prova): derivando F(x) deve retornar o integrando. Calcule F'(x) com regra do produto/quotient:
F(x)=\frac{1}{4}x\,(x^{2}+4)^{-1/2}.
Derivando:
F'(x)=\frac{1}{4}\Big[(x^{2}+4)^{-1/2} + x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)(x^{2}+4)^{-3/2}\cdot 2x\Big].
Simplificando:
F'(x)=\frac{1}{4}\Big[(x^{2}+4)^{-1/2} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+4)^{3/2}}\Big] = \frac{1}{4}\frac{x^{2}+4 - x^{2}}{(x^{2}+4)^{3/2}} = \frac{1}{4}\frac{4}{(x^{2}+4)^{3/2}} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
Confere certinho com o integrando.

Resposta

\dfrac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C

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