Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva
Informações importantes dadas implicitamente:
- O integrando é uma fração racional onde o denominador é
. - Vamos procurar uma decomposição em frações parciais após fatorar o denominador, e integrar termo a termo.
- Não há condições iniciais; vamos apresentar a antiderivada geral com constante de integração
.
Passo 2
Fatoração do denominador (passo básico e muito útil em frações racionais). Usamos diferença de potências:
Cada cúbico fatoriza ainda:
Portanto
Esse produto de fatores lineares e quadráticos irreduzíveis sobre os reais sugere a forma padrão da decomposição em frações parciais.
Passo 3
Montamos a decomposição em frações parciais com numeradores de grau menor que cada denominador:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Determinar
e
é rápido: avalia-se a identidade em
e
(as raízes dos fatores lineares), pois estes anulam todos os termos exceto os correspondentes.
Em
:
logo
Em
:
logo
Passo 5
Agora subtraímos as partes com
e
para encontrar os termos quadráticos. Observe que, usando
e
,
os dois primeiros termos somam:
os dois primeiros termos somam:
onde denotamos
. Calculamos
:
Assim a identidade original reescrita fica
Dividindo por
(note que isso é licito como identidade entre polinômios/racionais) obtemos
Passo 6
Simplificamos o membro esquerdo. Primeiro
Note que
. Logo
Portanto
Assim chegamos à identidade polinomial simples:
Passo 7
Expandimos o lado esquerdo e igualamos coeficientes. Expandindo:
Somando:
Esses coeficientes devem coincidir com os do polinômio
Das duas últimas equações obtemos
, logo
Da primeira equação
. Substituindo em uma das outras:
logo
Passo 8
Resumindo os coeficientes encontrados:
Reescrevendo os termos quadráticos de forma factorizada:
Portanto a decomposição completa é
Passo 9
Integramos termo a termo. Começamos escrevendo a integral como
As integrais das frações com denominador linear são logaritmos óbvios:
Para as integrais com quadráticos, escrevemos cada numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante:
- Para
tem-se . Escrevemos
Logo
- Para
tem-se . Escrevemos
Logo
Passo 10
As integrais
são arctan após completar o quadrado. Completa-se:
Usando a fórmula padrão
, temos
Passo 11
Agora reunimos tudo. Substituindo as expressões obtidas no Passo 9 e simplificando, obtemos
Simplificando fatores numéricos: