1. \int d x /\left(x^{6}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{dx}{x^{6}-1}.
Informações importantes dadas implicitamente:
  • O integrando é uma fração racional onde o denominador é x^{6}-1.
  • Vamos procurar uma decomposição em frações parciais após fatorar o denominador, e integrar termo a termo.
  • Não há condições iniciais; vamos apresentar a antiderivada geral com constante de integração C.

Passo 2

Fatoração do denominador (passo básico e muito útil em frações racionais). Usamos diferença de potências:
x^{6}-1=(x^{3})^{2}-1^{2}=(x^{3}-1)(x^{3}+1).
Cada cúbico fatoriza ainda:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),\qquad x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Portanto
x^{6}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1).
Esse produto de fatores lineares e quadráticos irreduzíveis sobre os reais sugere a forma padrão da decomposição em frações parciais.

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais com numeradores de grau menor que cada denominador:
\frac{1}{x^{6}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}+\frac{Ex+F}{x^{2}-x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{6}-1 obtemos a identidade polinomial
1=A(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)+B(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)
\quad{}+(Cx+D)(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)+(Ex+F)(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1).

Passo 4

Determinar A e B é rápido: avalia-se a identidade em x=1 e x=-1 (as raízes dos fatores lineares), pois estes anulam todos os termos exceto os correspondentes.
Em x=1:
1=A\cdot(1+1)\cdot(1+1+1)\cdot(1-1+1)=A\cdot 2\cdot 3\cdot 1=6A,
logo
A=\frac{1}{6}.
Em x=-1:
1=B\cdot(-1-1)\cdot(1-1+1)\cdot(1+1+1)=B\cdot(-2)\cdot1\cdot3=-6B,
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B=-\frac{1}{6}.

Passo 5

Agora subtraímos as partes com A e B para encontrar os termos quadráticos. Observe que, usando A=\tfrac{1}{6} e B=-\tfrac{1}{6},
os dois primeiros termos somam:
A(x+1)Q + B(x-1)Q=\frac{1}{6}(x+1)Q-\frac{1}{6}(x-1)Q=\frac{1}{3}Q,
onde denotamos Q=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1). Calculamos Q:
Q=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1.
Assim a identidade original reescrita fica
1-\frac{1}{3}Q=(x-1)(x+1)\big[(Cx+D)(x^{2}-x+1)+(Ex+F)(x^{2}+x+1)\big].
Dividindo por (x-1)(x+1) (note que isso é licito como identidade entre polinômios/racionais) obtemos
\frac{1-\tfrac{1}{3}Q}{(x-1)(x+1)}=(Cx+D)(x^{2}-x+1)+(Ex+F)(x^{2}+x+1).

Passo 6

Simplificamos o membro esquerdo. Primeiro
1-\frac{1}{3}Q=1-\frac{1}{3}(x^{4}+x^{2}+1)=\frac{1}{3}(2-x^{4}-x^{2}).
Note que x^{4}+x^{2}-2=(x^{2}+2)(x^{2}-1)=(x^{2}+2)(x-1)(x+1). Logo
2-x^{4}-x^{2}=-(x^{4}+x^{2}-2)=-(x^{2}+2)(x-1)(x+1).
Portanto
\frac{1-\tfrac{1}{3}Q}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-(x^{2}+2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{3}(x^{2}+2).
Assim chegamos à identidade polinomial simples:
(Cx+D)(x^{2}-x+1)+(Ex+F)(x^{2}+x+1)=-\frac{1}{3}(x^{2}+2).

Passo 7

Expandimos o lado esquerdo e igualamos coeficientes. Expandindo:
(Cx+D)(x^{2}-x+1)=C x^{3}+(-C+D)x^{2}+(C-D)x+D,
(Ex+F)(x^{2}+x+1)=E x^{3}+(E+F)x^{2}+(E+F)x+F.
Somando:
x^{3}:\\ C+E,\qquad x^{2}:\\\ -C+D+E+F,\qquad x:\\ C-D+E+F,\qquad \text{const: }D+F.
Esses coeficientes devem coincidir com os do polinômio -\tfrac{1}{3}x^{2}-\tfrac{2}{3}\), isto é: \[\begin{cases} C+E=0,\\[4pt] - C + D + E + F = -\tfrac{1}{3},\\[4pt] C - D + E + F = 0,\\[4pt] D + F = -\tfrac{2}{3}. \end{cases}
Das duas últimas equações obtemos F=D\] (subtraindo a terceira da segunda) e então \(2D=-\tfrac{2}{3}, logo
D=F=-\frac{1}{3}.
Da primeira equação E=-C. Substituindo em uma das outras:
- \tfrac{1}{3} = -2C + D + F = -2C -\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3} = -2C -\tfrac{2}{3},
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-2C = \frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{6},\qquad E=-C=\frac{1}{6}.]

Passo 8

Resumindo os coeficientes encontrados:
A=\frac{1}{6},\quad B=-\frac{1}{6},\quad C=-\frac{1}{6},\quad D=-\frac{1}{3},\quad E=\frac{1}{6},\quad F=-\frac{1}{3}.
Reescrevendo os termos quadráticos de forma factorizada:
\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}+\frac{Ex+F}{x^{2}-x+1} =-\frac{1}{6}\cdot\frac{x+2}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{6}\cdot\frac{x-2}{x^{2}-x+1}.
Portanto a decomposição completa é
\frac{1}{x^{6}-1}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{x+2}{x^{2}+x+1}+\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\right).

Passo 9

Integramos termo a termo. Começamos escrevendo a integral como
\int \frac{dx}{x^{6}-1}=\frac{1}{6}\Bigg(\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{dx}{x+1}-\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx+\int\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\,dx\Bigg).
As integrais das frações com denominador linear são logaritmos óbvios:
\int\frac{dx}{x-1}=\ln|x-1|,\qquad \int\frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|.
Para as integrais com quadráticos, escrevemos cada numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante:
  • Para D_{1}=x^{2}+x+1 tem-se D_{1}'=2x+1. Escrevemos
x+2=\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{3}{2}.
Logo
\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+x+1\big)+\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^{2}+x+1}.
  • Para D_{2}=x^{2}-x+1 tem-se D_{2}'=2x-1. Escrevemos
x-2=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}.
Logo
\int\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}-x+1\big)-\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^{2}-x+1}.

Passo 10

As integrais \int \dfrac{dx}{x^{2}\pm x +1} são arctan após completar o quadrado. Completa-se:
x^{2}+x+1=\Big(x+\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+\tfrac{3}{4},\qquad x^{2}-x+1=\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Usando a fórmula padrão \int \dfrac{du}{u^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{u}{a}\big), temos
\int\frac{dx}{x^{2}+x+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right),
\int\frac{dx}{x^{2}-x+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 11

Agora reunimos tudo. Substituindo as expressões obtidas no Passo 9 e simplificando, obtemos
\int \frac{dx}{x^{6}-1}=\frac{1}{6}\Bigg(\ln|x-1|-\ln|x+1|-\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}
\qquad\qquad\qquad\qquad -\frac{3}{2}\Big(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\tfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\tfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\Big)\Bigg)+C.
Simplificando fatores numéricos:
\int \frac{dx}{x^{6}-1}=\frac{1}{6}\ln\!\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{1}{12}\ln\!\left(\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right) -\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigg(\arctan\!\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+\arctan\!\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\Bigg)+C.

Resposta

\frac{1}{6}\ln\!\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{1}{12}\ln\!\left(\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right) -\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigg(\arctan\!\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+\arctan\!\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\Bigg)+C

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