\int\left(x^{2}+3\right) /\left(x^{4}-x^{2}\right) d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+3}{x^{4}-x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
O numerador é x^{2}+3 e o denominador é x^{4}-x^{2}.
A tarefa é encontrar uma expressão primitiva (uma família de funções cuja derivada é o integrando), ou seja, uma antiderivada mais uma constante de integração C.
Passo 2
Fatorar o denominador para ver a estrutura e escolher a técnica apropriada. Fatoremos x^{4}-x^{2}:
Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (4), podemos aplicar o método de frações parciais. Explico rapidinho: frações parciais escrevem a razão como soma de termos simples do tipo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator}}; para fatores repetidos (como x^{2}) precisamos termos separados para cada potência (x e x^{2}).
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais. Pela fatoração temos os fatores x^{2}, x-1 e x+1; para x^{2} precisamos de termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Assim postulamos:
Pequena observação didática: os logaritmos aparecem com valor absoluto porque \ln|\,\cdot\,| é a primitiva de 1/(x-a) para qualquer x\neq a; isso garante que a expressão é válida em cada intervalo onde a função integranda está definida (lembrar de adicionar a constante C).
Resposta
\dfrac{3}{x} + 2\ln\!\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C