1. \int\left(x^{2}+3\right) /\left(x^{4}-x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+3}{x^{4}-x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
  • O numerador é x^{2}+3 e o denominador é x^{4}-x^{2}.
  • A tarefa é encontrar uma expressão primitiva (uma família de funções cuja derivada é o integrando), ou seja, uma antiderivada mais uma constante de integração C.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver a estrutura e escolher a técnica apropriada. Fatoremos x^{4}-x^{2}:
x^{4}-x^{2} = x^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)=x^{2}(x-1)(x+1).
Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 4), podemos aplicar o método de frações parciais. Explico rapidinho: frações parciais escrevem a razão como soma de termos simples do tipo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator}}; para fatores repetidos (como x^{2}) precisamos termos separados para cada potência ( x e x^{2}).

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais. Pela fatoração temos os fatores x^{2}, x-1 e x+1; para x^{2} precisamos de termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Assim postulamos:
\frac{x^{2}+3}{x^{2}(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-1)(x+1) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+3 = A\,x(x-1)(x+1) + B\,(x-1)(x+1) + C\,x^{2}(x+1) + D\,x^{2}(x-1).
Essa igualdade vale para todo x (onde as expressões são definidas). Vamos determinar A,B,C,D.

Passo 4

Determinar os coeficientes usando valores convenientes de x (método rápido e seguro).
  • Tomando x=0: na identidade dá
0^{2}+3 = -B \quad\Rightarrow\quad -B=3 \quad\Rightarrow\quad B=-3.
(Usei que (x-1)(x+1) em x=0 vale -1.)
  • Tomando x=1: na identidade dá
1^{2}+3 = 2C \quad\Rightarrow\quad 4=2C \quad\Rightarrow\quad C=2.
(Porque em x=1 só o termo C\,x^{2}(x+1) sobreviveu.)
  • Tomando x=-1: na identidade dá
(-1)^{2}+3 = -2D \quad\Rightarrow\quad 4=-2D \quad\Rightarrow\quad D=-2.
  • Para A podemos usar outro valor plut se quiser; por exemplo x=2. Substituindo B=-3, C=2, D=-2 na identidade e fazendo x=2:
2^{2}+3 = A\cdot 2(2-1)(2+1) + B(2-1)(2+1) + C\cdot 2^{2}(2+1) + D\cdot 2^{2}(2-1).
Calcule passo a passo:
4+3 = 6A + 3B + 12C + 4D.
Substituindo B=-3, C=2, D=-2:
7 = 6A + 3(-3) + 12(2) + 4(-2) = 6A -9 +24 -8 = 6A +7.
Logo 6A+7=7\Rightarrow A=0.
Resumo dos coeficientes:
A=0,\quad B=-3,\quad C=2,\quad D=-2.

Passo 5

Reescrever o integrando usando a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+3}{x^{4}-x^{2}} = \frac{-3}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{2}{x-1} + \frac{-2}{x+1}.
Como A=0 o termo \dfrac{0}{x} some. Portanto
\frac{x^{2}+3}{x^{4}-x^{2}} = -3x^{-2} + \frac{2}{x-1} - \frac{2}{x+1}.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembre o básico:
  • Para n\neq -1 vale \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Para função racional \dfrac{1}{x-a} vale \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
Agora:
\int -3x^{-2}\,dx = -3\int x^{-2}\,dx = -3\Bigl(\frac{x^{-1}}{-1}\Bigr)=3x^{-1}=\frac{3}{x}.
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|.
\int -\frac{2}{x+1}\,dx = -2\ln|x+1|.
Somando as peças e agrupando os logaritmos:
\int \frac{x^{2}+3}{x^{4}-x^{2}}\,dx = \frac{3}{x} + 2\ln|x-1| -2\ln|x+1| + C.
Opcionalmente juntar os logaritmos:
2\ln|x-1| -2\ln|x+1| = 2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.

Passo 7

Pequena observação didática: os logaritmos aparecem com valor absoluto porque \ln|\,\cdot\,| é a primitiva de 1/(x-a) para qualquer x\neq a; isso garante que a expressão é válida em cada intervalo onde a função integranda está definida (lembrar de adicionar a constante C).

Resposta

\dfrac{3}{x} + 2\ln\!\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C

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