Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é a função racional
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função, em termos de
, mais a constante de integração .
Passo 2
Observação inicial útil (fato básico sobre polinômios em
): a expressão do denominador é um polinômio em
. Vamos tratá-la como um quadrático em
. Escrever
Agora fatoramos o quadrático em
. Resolvendo
:
Portanto o polinômio em
fatora como
. Voltando para
,
Sempre confira multiplicando:
. Boa — o denominador está fatorado em dois quadráticos irreducíveis sobre os reais.
Passo 3
Método escolhido: decomposição em frações parciais simples do tipo constante sobre quadráticos irreducíveis. Justificativa rápida e prática: como o denominador é produto de dois fatores quadráticos distintos e o numerador é constante (grau menor), podemos escrever
onde [A) e
são constantes a determinar. Isso evita termos mais complicados e leva a integrais do tipo
, que conhecemos bem.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agrupando coeficientes em potências de
:
Igualando coeficientes de
e do termo independente:
Da primeira equação
.
Portanto, a decomposição é
Passo 4
Escrevendo a integral usando a decomposição:
Podemos tirar as constantes para fora das integrais:
Passo 5
Lembrete (fórmula padrão que vamos usar): para
,
Raciocínio rápido por trás da fórmula: fazendo a substituição
tem-se
e
, levando direto à primitiva
.
Aplicando com
para o primeiro termo e com
para o segundo (já que
):
Substituindo nas integrais:
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
Opcional (verificação rápida por derivação): derivando esse resultado obtém-se
confirmando que a primitiva está correta.