1. \int d x /\left(x^{4}+5 x^{2}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{4}+5x^{2}+4}.
Informações dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{1}{x^{4}+5x^{2}+4}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função, em termos de x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação inicial útil (fato básico sobre polinômios em x^2): a expressão do denominador é um polinômio em x^{2}. Vamos tratá-la como um quadrático em t=x^{2}. Escrever
x^{4}+5x^{2}+4 = t^{2}+5t+4 \quad\text{com}\quad t=x^{2}.
Agora fatoramos o quadrático em t. Resolvendo t^{2}+5t+4=0:
t=\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}\Rightarrow t=-1,\,-4.
Portanto o polinômio em t fatora como (t+1)(t+4). Voltando para x,
x^{4}+5x^{2}+4=(x^{2}+1)(x^{2}+4).
Sempre confira multiplicando: (x^{2}+1)(x^{2}+4)=x^{4}+5x^{2}+4. Boa — o denominador está fatorado em dois quadráticos irreducíveis sobre os reais.

Passo 3

Método escolhido: decomposição em frações parciais simples do tipo constante sobre quadráticos irreducíveis. Justificativa rápida e prática: como o denominador é produto de dois fatores quadráticos distintos e o numerador é constante (grau menor), podemos escrever
\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x^{2}+1}+\frac{B}{x^{2}+4},
onde [A) e B são constantes a determinar. Isso evita termos mais complicados e leva a integrais do tipo \int \dfrac{dx}{x^{2}+a^{2}}, que conhecemos bem.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+4) obtemos a identidade
1 = A(x^{2}+4)+B(x^{2}+1).
Agrupando coeficientes em potências de x:
1 = (A+B)x^{2} + (4A + B).
Igualando coeficientes de x^{2} e do termo independente:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 4A + B = 1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \[4A + (-A) = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A=\frac{1}{3}.\] Logo \(B=-\dfrac{1}{3}.
Portanto, a decomposição é
\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.]

Passo 4

Escrevendo a integral usando a decomposição:
\int \frac{dx}{x^{4}+5x^{2}+4} = \int\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}\right)dx.
Podemos tirar as constantes para fora das integrais:
= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+1} - \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 5

Lembrete (fórmula padrão que vamos usar): para a>0,
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Raciocínio rápido por trás da fórmula: fazendo a substituição u=\dfrac{x}{a} tem-se dx=a\,du e x^{2}+a^{2}=a^{2}(u^{2}+1), levando direto à primitiva \dfrac{1}{a}\arctan(u).
Aplicando com a=1 para o primeiro termo e com a=2 para o segundo (já que x^{2}+4 = x^{2}+(2)^{2}):
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan(x) + C.
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4} = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Substituindo nas integrais:
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+1} - \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+4} = \frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Opcional (verificação rápida por derivação): derivando esse resultado obtém-se
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{x^{2}+4} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+1} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} = \frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\arctan(x)-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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