Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a função racional
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão
tal que .
Nenhuma outra informação foi dada.
Passo 2
Observação prática: quando temos uma função racional onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é útil fazer divisão polinomial para escrever a função como soma de um polinômio e uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir
por
.
Faço
. O quociente é
porque
Subtraindo de
obtemos o resto
Portanto a divisão dá
Passo 3
Reescrevo a integral usando esse resultado:
Agora integro termo a termo. A integral do primeiro termo é direta:
Explico rápido: a regra básica é
para
. Aqui
.
Passo 4
Agora calculo a integral
Método direto e simples: substituição. Defino
Então
Substituindo na integral:
A primitiva de
é
, portanto
Comentário pedagógico: o valor absoluto é necessário dentro do logaritmo porque a função log exige argumento positivo;
pode ser negativo para
.
Passo 5
Juntando as duas partes (lembrando de somar apenas uma constante de integração no final):
Dica alternativa (útil para fixar): quem preferir pode integrar
por frações parciais. Note que
cuja integral dá
, mesma resposta.
Passo 6
Verificação rápida (modo prova): derivando a resposta obtida deve-se voltar ao integrando. Derivada de
é
. Derivada de
é
. Somando:
, checa certinho. Vai dar tudo certo na prova — respira, tá bom!