1. \int\left(x^{3}\right) /\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a função racional \dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}.
    Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Observação prática: quando temos uma função racional onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é útil fazer divisão polinomial para escrever a função como soma de um polinômio e uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir x^{3} por x^{2}-1.
Faço x^{3}\div(x^{2}-1). O quociente é x porque
(x^{2}-1)\cdot x = x^{3}-x.
Subtraindo de x^{3} obtemos o resto
x^{3}-(x^{3}-x)=x.
Portanto a divisão dá
\frac{x^{3}}{x^{2}-1}=x+\frac{x}{x^{2}-1}.

Passo 3

Reescrevo a integral usando esse resultado:
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\,dx=\int x\,dx+\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
Agora integro termo a termo. A integral do primeiro termo é direta:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Explico rápido: a regra básica é \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui n=1.

Passo 4

Agora calculo a integral
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
Método direto e simples: substituição. Defino
u=x^{2}-1.
Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de 1/u é \ln|u|, portanto
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|x^{2}-1|+C.
Comentário pedagógico: o valor absoluto é necessário dentro do logaritmo porque a função log exige argumento positivo; x^{2}-1 pode ser negativo para |x|<1.

Passo 5

Juntando as duas partes (lembrando de somar apenas uma constante de integração no final):
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln|x^{2}-1|+C.
Dica alternativa (útil para fixar): quem preferir pode integrar \dfrac{x}{x^{2}-1} por frações parciais. Note que
\frac{x}{x^{2}-1}=\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right),
cuja integral dá \tfrac{1}{2}\ln|x-1|+\tfrac{1}{2}\ln|x+1|=\tfrac{1}{2}\ln|x^{2}-1|, mesma resposta.

Passo 6

Verificação rápida (modo prova): derivando a resposta obtida deve-se voltar ao integrando. Derivada de \tfrac{x^{2}}{2} é x. Derivada de \tfrac{1}{2}\ln|x^{2}-1| é \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}-1}=\dfrac{x}{x^{2}-1}. Somando: x+\dfrac{x}{x^{2}-1}=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}, checa certinho. Vai dar tudo certo na prova — respira, tá bom!

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln\lvert x^{2}-1\rvert+C

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