\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} x y z^{2} d x d y d z
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 27 / 4
\bigcirc b. 23 / 7
\bigcirc c. 17
\bigcirc d. 73 / 8
\bigcirc e. 32 / 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{3}\int_{-1}^{2}\int_{0}^{1} x\,y\,z^{2}\,dx\,dy\,dz.
Informações fornecidas:
  • O integrando é \;x\,y\,z^{2}\;.
  • Os limites são, na ordem das integrais: x de 0 a 1, y de -1 a 2 e z de 0 a 3.
  • A ordem de integração já está dada: primeiro dx, depois dy, por fim dz.
    O que se pede: o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação importante e ferramenta que vamos usar: quando o integrando é produto de funções que dependem cada uma de uma variável diferente (aqui x, y e z aparecem separadamente), podemos fatorar constantes ao integrar em cada variável. Além disso usaremos a regra de potência para integrais de polinômios:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad\text{para }n\neq -1.
No nosso caso aparecem potências simples: \int x\,dx, \int y\,dy, \int z^{2}\,dz. Vamos integrar na ordem dada, explicando cada passo e por que podemos fatorar termos.

Passo 3

Integral interna em x: integramos \int_{0}^{1} x\,y\,z^{2}\,dx.
Aqui y e z são constantes em relação a x, então podemos fatorá-los:
\int_{0}^{1} x\,y\,z^{2}\,dx = y\,z^{2}\int_{0}^{1} x\,dx.
Aplicando a regra de potência com n=1:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o resultado da integral interna é
\frac{1}{2}\,y\,z^{2}.

Passo 4

Agora integramos em y: \displaystyle \int_{-1}^{2} \frac{1}{2}\,y\,z^{2}\,dy.
Novamente z^{2} e \tfrac{1}{2} são constantes em relação a y, então:
\int_{-1}^{2} \frac{1}{2}\,y\,z^{2}\,dy = \frac{1}{2}\,z^{2}\int_{-1}^{2} y\,dy.
Calcule \int_{-1}^{2} y\,dy usando a regra de potência ( n=1):
\int_{-1}^{2} y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{-1}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Multiplicando:
\frac{1}{2}\,z^{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\,z^{2}.
Assim, após as duas primeiras integrais ficamos com a função de z
\frac{3}{4}\,z^{2}.

Passo 5

Por fim integramos em z: \displaystyle \int_{0}^{3} \frac{3}{4}\,z^{2}\,dz.
Fatoramos \frac{3}{4} (constante):
\frac{3}{4}\int_{0}^{3} z^{2}\,dz.
Aplicando a regra de potência com n=2:
\int_{0}^{3} z^{2}\,dz=\left.\frac{z^{3}}{3}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-0=\frac{27}{3}=9.
Multiplicando:
\frac{3}{4}\cdot 9=\frac{27}{4}.

Passo 6

Concluímos que o valor da integral iterada é \displaystyle \frac{27}{4}. Das opções dadas isso corresponde à letra (a).

Resposta

(a)

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