Informações dadas: a função integranda é \dfrac{\sqrt{x+2}}{x+1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x+1}. Não precisamos de condições adicionais; trata-se de uma integral indefinida.
Passo 2
Observação e escolha de substituição: temos a raiz \sqrt{x+2} no numerador e uma expressão quadrática em x no denominador depois de expandir, então uma substituição natural é transformar a raiz em uma variável nova. Definimos
t=\sqrt{x+2}.
Explico o porquê: com essa substituição a raiz vira simplesmente t e x fica em termos de t, o que geralmente simplifica a integral. Agora expressamos x e dx em função de t.
Passo 3
Converter variáveis: a partir de t=\sqrt{x+2} temos
t^2=x+2 \quad\Rightarrow\quad x=t^2-2.
Diferenciando ambos os lados em relação a t:
dx=2t\,dt.
Também substituímos \sqrt{x+2}=t e x+1=(t^2-2)+1=t^2-1. Portanto a integral em x vira uma integral em t:
Agora faltam 2\int \dfrac{1}{t^2-1}\,dt. Para essa integral usamos frações parciais, porque t^2-1=(t-1)(t+1).
Passo 6
Decomposição em frações parciais: procuramos A,B tais que
\frac{2}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}.
Multiplicando por (t-1)(t+1) obtemos
2 = A(t+1)+B(t-1).
Tomando t=1 dá 2=2A\Rightarrow A=1. Tomando t=-1 dá 2=-2B\Rightarrow B=-1. Assim
\frac{2}{t^2-1}=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}.
Passo 7
Integrar a parte com frações parciais: lembrando que \dfrac{d}{dt}\ln|t-a|=\dfrac{1}{t-a}, temos
2\int \frac{1}{t^2-1}\,dt = \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\,dt = \ln|t-1| - \ln|t+1| + C.
(Já inclui a constante de integração aqui; depois juntamos com a anterior.)
Passo 8
Juntar resultados e retornar à variável x: somando a parte 2t com a parte logarítmica obtemos uma primitiva em t:
2t + \ln|t-1| - \ln|t+1| + C = 2t + \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C.
Voltando para x usando t=\sqrt{x+2}, a primitiva final é
2\sqrt{x+2} + \ln\!\left|\frac{\sqrt{x+2}-1}{\sqrt{x+2}+1}\right| + C.
Observação sobre valores absolutos: mantemos os módulos no logaritmo porque \ln|\,\cdot\,| é a primitiva correta de \dfrac{1}{\cdot}. Note que \sqrt{x+2}\ge 0, então o sinal dentro dos módulos depende de x, por isso é necessário.