(3,0) Resolva o sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x-y+5 z=4 \\\\ 7 x+z=-1 \\\ y+3 z=0\end{array}\right., calculando a inversa da matriz dos coeficientes e aplicando a fórmula X=A^{-1} B.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x-y+5z=4\\[4pt] 7x+z=-1\\[4pt] y+3z=0 \end{cases}
usando a fórmula \,X=A^{-1}B\,, ou seja, calculando a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicando pela matriz (vetor) dos termos independentes.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 5\\[4pt] 7 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4\\[4pt] -1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar: a relação \,X=A^{-1}B\, significa que se soubermos a matriz inversa \,A^{-1}\, então a solução do sistema é o produto dessa inversa pelo vetor dos termos independentes. Aqui:
  • \,A\, é a matriz 3\times3 dos coeficientes (mostrei acima);
  • \,B\, é o vetor coluna dos termos independentes;
  • \,X\, é o vetor coluna das incógnitas \,x,y,z.
    Nosso objetivo imediato é calcular \,A^{-1}\, e depois calcular \,X=A^{-1}B.

Passo 3

Método escolhido para calcular \,A^{-1}\,: eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares a \,[A\mid I] até obter [I\mid A^{-1}]. Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, adicionar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam as soluções e são justamente as usadas para encontrar a inversa.
Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

Passo 4

Começamos a triangularizar e reduzir:
  1. Tornar o pivô da primeira linha igual a 1: dividimos a linha 1 por 2:
R_1\leftarrow\frac{1}{2}R_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

Passo 5

  1. Eliminar o elemento 7 abaixo do pivô 1 (coluna 1): fazemos R_2\leftarrow R_2-7R_1. Calculando com frações:
R_2\leftarrow R_2-7R_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{33}{2} & -\tfrac{7}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

Passo 6

  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: dividimos a linha 2 por \tfrac{7}{2} (ou multiplicamos por \tfrac{2}{7}):
R_2\leftarrow\frac{2}{7}R_2\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{33}{7} & -1 & \tfrac{2}{7} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

Passo 7

  1. Eliminar os outros elementos na coluna 2 usando o pivô 1 em R_2:
  • Para zerar o elemento -\tfrac{1}{2} em R_1: fazemos R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{2}R_2.
  • Para zerar o 1 em R_3: fazemos R_3\leftarrow R_3-R_2.
    Calculando:
R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{2}R_2\quad\Rightarrow\quad R_1=(1,0,\tfrac{1}{7}\mid 0,\tfrac{1}{7},0)
R_3\leftarrow R_3-R_2\quad\Rightarrow\quad R_3=(0,0,\tfrac{54}{7}\mid 1,-\tfrac{2}{7},1)
Assim a matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{33}{7} & -1 & \tfrac{2}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{54}{7} & 1 & -\tfrac{2}{7} & 1 \end{array}\right)]

Passo 8

  1. Tornar o pivô da terceira linha igual a 1: dividimos R_3 por \tfrac{54}{7}, isto é, multiplicamos por \tfrac{7}{54}:
R_3\leftarrow\frac{7}{54}R_3\quad\Rightarrow\quad R_3=(0,0,1\mid \tfrac{7}{54},-\tfrac{1}{27},\tfrac{7}{54}).

Passo 9

  1. Eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
  • Zeramos o \tfrac{1}{7} em R_1 com R_1\leftarrow R_1-\tfrac{1}{7}R_3.
  • Zeramos o -\tfrac{33}{7} em R_2 com R_2\leftarrow R_2+\tfrac{33}{7}R_3.
    Fazendo essas operações chegamos à forma reduzida com a matriz identidade à esquerda e a inversa à direita:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{54} & \tfrac{4}{27} & -\tfrac{1}{54}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{7}{18} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{11}{18}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{7}{54} & -\tfrac{1}{27} & \tfrac{7}{54} \end{array}\right)
Portanto encontramos
A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{54} & \tfrac{4}{27} & -\tfrac{1}{54}\\[6pt] -\tfrac{7}{18} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{11}{18}\\[6pt] \tfrac{7}{54} & -\tfrac{1}{27} & \tfrac{7}{54} \end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora aplicamos \,X=A^{-1}B\,. Multiplicamos a matriz \,A^{-1}\, pelo vetor \,B=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calculamos componente a componente (produto linha por coluna):
Para x:
x=\left(-\tfrac{1}{54}\right)\cdot 4+\left(\tfrac{4}{27}\right)\cdot(-1)+\left(-\tfrac{1}{54}\right)\cdot 0 =-\tfrac{4}{54}-\tfrac{4}{27}=-\tfrac{2}{27}-\tfrac{4}{27}=-\tfrac{6}{27}=-\tfrac{2}{9}.
Para y:
y=\left(-\tfrac{7}{18}\right)\cdot 4+\left(\tfrac{1}{9}\right)\cdot(-1)+\left(\tfrac{11}{18}\right)\cdot 0 =-\tfrac{28}{18}-\tfrac{1}{9}=-\tfrac{14}{9}-\tfrac{1}{9}=-\tfrac{15}{9}=-\tfrac{5}{3}.
Para z:
z=\left(\tfrac{7}{54}\right)\cdot 4+\left(-\tfrac{1}{27}\right)\cdot(-1)+\left(\tfrac{7}{54}\right)\cdot 0 =\tfrac{28}{54}+\tfrac{1}{27}=\tfrac{14}{27}+\tfrac{1}{27}=\tfrac{15}{27}=\tfrac{5}{9}.
Também é bom checar (rápido) numa equação original: por exemplo, 2x-y+5z=2(-\tfrac{2}{9})-(-\tfrac{5}{3})+5(\tfrac{5}{9})=4, confirma.]

Resposta

x=-\tfrac{2}{9}
y=-\tfrac{5}{3}
z=\tfrac{5}{9}

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