(3,0) Resolva o sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x-y+5 z=4 \\\\ 7 x+z=-1 \\\ y+3 z=0\end{array}\right., calculando a inversa da matriz dos coeficientes e aplicando a fórmula X=A^{-1} B.
usando a fórmula \,X=A^{-1}B\,, ou seja, calculando a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicando pela matriz (vetor) dos termos independentes.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Explicando a fórmula que vamos usar: a relação \,X=A^{-1}B\, significa que se soubermos a matriz inversa \,A^{-1}\, então a solução do sistema é o produto dessa inversa pelo vetor dos termos independentes. Aqui:
\,A\, é a matriz 3\times3 dos coeficientes (mostrei acima);
\,B\, é o vetor coluna dos termos independentes;
\,X\, é o vetor coluna das incógnitas \,x,y,z.
Nosso objetivo imediato é calcular \,A^{-1}\, e depois calcular \,X=A^{-1}B.
Passo 3
Método escolhido para calcular \,A^{-1}\,: eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares a \,[A\mid I] até obter [I\mid A^{-1}]. Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, adicionar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam as soluções e são justamente as usadas para encontrar a inversa.
Eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
Zeramos o \tfrac{1}{7} em R_1 com R_1\leftarrow R_1-\tfrac{1}{7}R_3.
Zeramos o -\tfrac{33}{7} em R_2 com R_2\leftarrow R_2+\tfrac{33}{7}R_3.
Fazendo essas operações chegamos à forma reduzida com a matriz identidade à esquerda e a inversa à direita: