Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral indefinida de
, ou seja . - Usar esse resultado para calcular a integral definida
.
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo para a integral definida é de
até .
Passo 2
Lembrete essencial (fórmula que vou usar): a derivada da função tangente é
Isto significa que, para uma variável
,
onde
é a constante de integração. Essa é a antiderivada básica que vamos aplicar, mas atenção: aqui a função dentro do
é
, não apenas
. Quando há uma função composta, usamos substituição (ou reconhecemos a regra da cadeia).
Passo 3
Fazer a substituição para adaptar a fórmula anterior. Defino a nova variável
Então calcule
em função de
:
Agora reescrevo a integral em
. Substituindo
e
na integral indefinida:
Passo 4
Puxando a constante
para fora da integral e usando a antiderivada de
:
Voltando à variável original
(substituindo
):
Isso responde à parte da integral indefinida e mostra exatamente como aplicar a substituição na hora da prova.
Passo 5
Agora uso o resultado anterior para a integral definida. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma antiderivada de
contínua no intervalo
, então
Aqui
é contínua em
(pois
e
não zera nessa faixa), e
é uma antiderivada. Portanto
Passo 6
Avalio a antiderivada nos limites. Primeiro,
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