Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{x}{3}\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida de \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right), ou seja \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
  • Usar esse resultado para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{x}{3}\right).
  • O intervalo para a integral definida é de x=0 até x=\pi.

Passo 2

Lembrete essencial (fórmula que vou usar): a derivada da função tangente é
\frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)=\operatorname{sec}^{2}u.
Isto significa que, para uma variável u,
\int \operatorname{sec}^{2}u\,du=\tan u + C,
onde C é a constante de integração. Essa é a antiderivada básica que vamos aplicar, mas atenção: aqui a função dentro do \operatorname{sec}^{2} é u=\dfrac{x}{3}, não apenas u=x. Quando há uma função composta, usamos substituição (ou reconhecemos a regra da cadeia).

Passo 3

Fazer a substituição para adaptar a fórmula anterior. Defino a nova variável
u=\frac{x}{3}.
Então calcule du em função de dx:
du=\frac{1}{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=3\,du.
Agora reescrevo a integral em u. Substituindo u e dx na integral indefinida:
\int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}u \cdot (3\,du).

Passo 4

Puxando a constante 3 para fora da integral e usando a antiderivada de \operatorname{sec}^{2}u:
\int \operatorname{sec}^{2}u \cdot (3\,du)=3\int \operatorname{sec}^{2}u\,du = 3\bigl(\tan u\bigr) + C.
Voltando à variável original x (substituindo u=\dfrac{x}{3}):
\boxed{\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = 3\,\tan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C.}
Isso responde à parte da integral indefinida e mostra exatamente como aplicar a substituição na hora da prova.

Passo 5

Agora uso o resultado anterior para a integral definida. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x) é uma antiderivada de f(x) contínua no intervalo [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{x}{3}\right) é contínua em [0,\pi] (pois x/3\in[0,\pi/3] e \cos não zera nessa faixa), e F(x)=3\tan\!\left(\dfrac{x}{3}\right) é uma antiderivada. Portanto
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = \left[3\tan\!\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{0}^{\pi}.

Passo 6

Avalio a antiderivada nos limites. Primeiro,
\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}, \qquad \tan\!\left(0\right)=0.
Logo
\left[3\tan\!\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{0}^{\pi} = 3\left(\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-\tan(0)\right)=3\bigl(\sqrt{3}-0\bigr)=3\sqrt{3}.

Resposta

3\sqrt{3}

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