7-\int \frac{1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida da função
f(x)=7 - \frac{1}{1+x^{2}}
Portanto, precisamos usar duas regras básicas de integração:
  1. \displaystyle \int a\,dx = a\,x + C quando a é constante.
  2. \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x) + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int \Bigl(7 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx =\int 7\,dx \;-\;\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da constante na primeira integral:
\int 7\,dx = 7x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da função arco-tangente na segunda integral:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x).

Passo 5

Subtraímos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
\int \Bigl(7 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx =7x - \arctan(x) + C.

Resposta

7x - \arctan(x) + C

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