\int \frac{25 x^{2}-1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{25x^{2}-1}{\sqrt{x}}\,dx
Este é um caso de aplicação direta da regra de potência, depois de expressar o integrando como soma de potências de x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando \sqrt{x}=x^{\tfrac12}:
\frac{25x^{2}-1}{\sqrt{x}} =25x^{2-\tfrac12}-x^{-\tfrac12} =25x^{\tfrac32}-x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Integramos termo a termo pela fórmula \displaystyle\int x^{k}\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}:
\int25x^{\tfrac32}\,dx =25\cdot\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =10x^{\tfrac52}, \quad \int x^{-\tfrac12}\,dx =\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =2x^{\tfrac12}.

Passo 4

Juntando os resultados e incluindo a constante C:
\int \frac{25x^{2}-1}{\sqrt{x}}\,dx =10x^{\tfrac52}-2x^{\tfrac12}+C.

Resposta

10x^{\tfrac52}-2x^{\tfrac12}+C.

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