\int\left(x^{2}+3 x+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
f(x) = x^{2} + 3x + \frac{1}{x^{2}}
Logo, o conteúdo é integração de potências, e vamos usar a regra do tipo \int x^{n}dx.

Passo 2

A regra geral (para n\neq -1) é
\int x^{n} \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 3

Para o termo x^{2}, aplicamos a regra com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Para o termo 3x, fatoramos a constante e usamos n=1:
\int 3x\,dx = 3 \int x\,dx = 3 \cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{2}.

Passo 5

Para o termo \frac{1}{x^{2}}, reescrevemos como x^{-2} e tomamos n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\,\frac{1}{x}.

Passo 6

Somando as três antiderivadas parciais e incluindo a constante de integração, obtemos a antiderivada geral.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} \;+\;\frac{3x^{2}}{2}\;-\;\frac{1}{x}\;+\;C.

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