1. \int \frac{x \arctan x d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \quad \cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\frac{x-\left(1-x^{2}\right) \operatorname{arctg} x}{4\left(1+x^{2}\right)}+C\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x\arctan x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando contém o produto de \arctan x e uma função racional com fator x/(1+x^{2})^{2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Não há condições adicionais (constante de integração será +C).

Passo 2

Escolha do método e motivo: quando aparece \arctan x multiplicando uma função que envolve 1+x^{2}, uma ideia eficiente é usar integração por partes com u=\arctan x, porque a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}, que combina bem com o denominador. Assim tomamos
u=\arctan x,\qquad dv=\frac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.
Lembrete rápido do método: para integração por partes vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv.

Passo 3

Calcular du e encontrar v a partir de dv.
Derivada de u:
du=\frac{d}{dx}(\arctan x)\,dx=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Agora precisamos de v tal que
v'=\frac{x}{(1+x^{2})^{2}}.
Para integrar dv=\dfrac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx faça a substituição simples t=1+x^{2}. Então dt=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{dt}{2}. Assim
\int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \int \frac{1}{2} t^{-2}\,dt = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t}\right)+C = -\frac{1}{2(1+x^{2})}+C.
Portanto podemos tomar
v=-\frac{1}{2(1+x^{2})}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = -\frac{\arctan x}{2(1+x^{2})} - \int \left(-\frac{1}{2(1+x^{2})}\right)\left(\frac{1}{1+x^{2}}\,dx\right).
Simplificando o sinal:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = -\frac{\arctan x}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{2}\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.
Então reduzimos o problema a calcular
I_2=\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.

Passo 5

Calcular I_2=\displaystyle\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx. Uma maneira clara é usar a substituição trigonométrica x=\tan\theta. Então dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e 1+x^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta. Logo
I_2=\int \frac{1}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando a identidade de duplicação \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
I_2=\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C.
Voltar para x: como x=\tan\theta então \theta=\arctan x. Além disso
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Substituindo:
I_2=\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} + C = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^{2})} + C.
Ou, escrevendo com denominador comum:
I_2=\frac{(1+x^{2})\arctan x + x}{2(1+x^{2})}+C.

Passo 6

Voltar à expressão obtida no Passo 4:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = -\frac{\arctan x}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{2}I_2 + C.
Substituindo I_2:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = -\frac{\arctan x}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^{2})}\right) + C.
Calcule os coeficientes passo a passo. Primeiro o termo com \arctan x:
-\frac{\arctan x}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{4}\arctan x = \arctan x\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2(1+x^{2})}\right).
Colocando em denominar comum 4(1+x^{2}):
\frac{1}{4}-\frac{1}{2(1+x^{2})} = \frac{1+x^{2}-2}{4(1+x^{2})} = \frac{x^{2}-1}{4(1+x^{2})} = -\frac{1-x^{2}}{4(1+x^{2})}.
O termo com x/(1+x^{2}) é
\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2(1+x^{2})}=\frac{x}{4(1+x^{2})}.
Somando os dois resultados obtemos a primitiva:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \frac{x}{4(1+x^{2})} - \frac{(1-x^{2})\arctan x}{4(1+x^{2})} + C.
Organizando em um único quociente:
\int \frac{x\arctan x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \frac{x - (1-x^{2})\arctan x}{4(1+x^{2})} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x-(1-x^{2})\arctan x}{4(1+x^{2})}+C

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