-
resp.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. - O integrando contém o produto de
e uma função racional com fator . - Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão
tal que . - Não há condições adicionais (constante de integração será
).
Passo 2
Escolha do método e motivo: quando aparece
multiplicando uma função que envolve
, uma ideia eficiente é usar integração por partes com
, porque a derivada de
é
, que combina bem com o denominador. Assim tomamos
Lembrete rápido do método: para integração por partes vale
onde
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Calcular
e encontrar
a partir de
.
Derivada de
:
Agora precisamos de
tal que
Para integrar
faça a substituição simples
. Então
, ou
. Assim
Portanto podemos tomar
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o sinal:
Então reduzimos o problema a calcular
Passo 5
Calcular
. Uma maneira clara é usar a substituição trigonométrica
. Então
e
. Logo
Usando a identidade de duplicação
:
Voltar para
: como
então
. Além disso
Substituindo:
Ou, escrevendo com denominador comum:
Passo 6
Voltar à expressão obtida no Passo 4:
Substituindo
:
Calcule os coeficientes passo a passo. Primeiro o termo com
:
Colocando em denominar comum
:
O termo com
é
Somando os dois resultados obtemos a primitiva:
Organizando em um único quociente: