resp.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
O que o enunciado pede: encontrar a soluçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial (o enunciado já sugere a resposta esperada , então nosso objetivo é chegar a essa expressão e confirmar que ela satisfaz a condição inicial).
Passo 2
Transformar a equação diferencial em uma integral — ideia básica:
Escrevemos a equação diferencial como diferencial total e integramos ambos os lados em relação a :
Escrevemos a equação diferencial como diferencial total e integramos ambos os lados em relação a
Agora integramos ambos os lados:
Explicação didática: integrar
dá
mais constante; no segundo integral vamos usar substituição porque dentro do seno aparece uma função composta
cuja derivada é
, e esse fator
já está multiplicando o seno — isso é o cenário clássico para a substituição
-substitution.
Passo 3
Fazer a substituição
. Cálculo do diferencial:
Substituindo no integral do lado direito obtemos:
Agora lembramos a primitiva (antiderivada) da função seno: a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Assim
onde
é constante de integração.
Passo 4
Voltar à variável
e escrever a solução geral:
Substituindo de volta, a integração nos dá
Substituindo
onde
é constante arbitrária que será determinada pela condição inicial. Explicação didática sobre a constante: ao integrar uma equação diferencial de primeira ordem obtemos uma família de soluções parameterizada por uma constante; a condição inicial serve para encontrar a constante correspondente à solução específica que passará pelo ponto dado.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Calcule , então em
temos
. Substituindo:
Calcule
Como
, segue
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida: derivar a solução encontrada para checar a equação diferencial.
Seja . Defina
. Então
Seja
que coincide com o lado direito da equação diferencial original. Assim a solução está correta e satisfaz a condição inicial.