\frac{d y}{d t}=e^{t} \operatorname{sen}\left(e^{t}-2\right), y(\ln 2)=0 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad y(t)=-\cos \left(e^{t}-2\right)+1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
  • A equação diferencial é \dfrac{d y}{d t}=e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr).
  • A condição inicial é y(\ln 2)=0.
    O que o enunciado pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial (o enunciado já sugere a resposta esperada \;y(t)=-\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr)+1, então nosso objetivo é chegar a essa expressão e confirmar que ela satisfaz a condição inicial).

Passo 2

Transformar a equação diferencial em uma integral — ideia básica:
Escrevemos a equação diferencial como diferencial total e integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{d y}{d t}=e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad dy = e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int dy = \int e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt.
Explicação didática: integrar dy y mais constante; no segundo integral vamos usar substituição porque dentro do seno aparece uma função composta e^{t}-2 cuja derivada é e^{t}, e esse fator e^{t} já está multiplicando o seno — isso é o cenário clássico para a substituição u-substitution.

Passo 3

Fazer a substituição u=e^{t}-2. Cálculo do diferencial:
u = e^{t}-2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dt}=e^{t}\quad\Longrightarrow\quad du = e^{t}\,dt.
Substituindo no integral do lado direito obtemos:
\int e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt = \int \operatorname{sen}(u)\,du.
Agora lembramos a primitiva (antiderivada) da função seno: a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), logo uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Assim
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltar à variável t e escrever a solução geral:
Substituindo u=e^{t}-2 de volta, a integração nos dá
y(t) = -\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr) + C,
onde C é constante arbitrária que será determinada pela condição inicial. Explicação didática sobre a constante: ao integrar uma equação diferencial de primeira ordem obtemos uma família de soluções parameterizada por uma constante; a condição inicial serve para encontrar a constante correspondente à solução específica que passará pelo ponto dado.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(\ln 2)=0 para determinar C.
Calcule e^{\ln 2}=2, então em t=\ln 2 temos e^{t}-2=2-2=0. Substituindo:
y(\ln 2)= -\cos(0) + C = -1 + C.
Como y(\ln 2)=0, segue
-1 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t) = -\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr) + 1.

Passo 6

Verificação rápida: derivar a solução encontrada para checar a equação diferencial.
Seja y(t) = -\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr) + 1. Defina u(t)=e^{t}-2. Então
\frac{dy}{dt} = -\bigl(-\operatorname{sen}(u)\bigr)\cdot \frac{du}{dt} = \operatorname{sen}(u)\cdot e^{t} = e^{t}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{t}-2\bigr),
que coincide com o lado direito da equação diferencial original. Assim a solução está correta e satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(t)=-\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr)+1

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