-
(resp.
)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) — isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o radicando completando o quadrado — isso normalmente facilita integrais com raízes quadráticas.
Começamos por fatorar
:
Agora completar o quadrado em
. Lembrando que
. Portanto
Calculando:
Logo
Assim a raiz fica
Passo 3
Substituímos essa expressão na integral:
Agora fazemos a mudança de variável simples
A integral passa a ser
Passo 4
Precisamos saber uma primitiva de
. Uma forma direta de obter isso é usar a substituição hiperbólica
, porque
.
Se
então
e
(para
, e a expressão com valor absoluto funciona em geral). Assim
Voltando a
,
e uma fórmula equivalente em logaritmos é
Portanto
Passo 5
Voltando à nossa integral com o fator
e recolocando
, obtemos
Esta forma é equivalente à forma fornecida no enunciado. Para ver isso rapidamente, note que multiplicando o argumento do log por
dentro do log só altera a primitiva por uma constante:
e
, diferença que é absorvida em
.
Observação sobre domínio: a expressão real da raiz exige
, isto é
, ou seja
ou
. A primitiva escrita com log é válida em cada ramo (com os módulos apropriados), e constantes podem diferir entre ramos.
Passo 6
Checagem rápida por diferenciação (raciocínio): se
então
o que confirma que a primitiva encontrada está correta.