1. \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}} (resp. \frac{1}{2} \ln \left(2 x-1+\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}\right)+C )

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 1/\sqrt{4x^{2}-4x-3}.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) — isto é, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o radicando completando o quadrado — isso normalmente facilita integrais com raízes quadráticas.
Começamos por fatorar 4:
4x^{2}-4x-3 = 4\bigl(x^{2}-x\bigr)-3.
Agora completar o quadrado em x^{2}-x. Lembrando que x^{2}-x = (x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}. Portanto
4\bigl(x^{2}-x\bigr)-3 = 4\Bigl((x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)-3.
Calculando:
4\Bigl((x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)-3 = 4(x-\tfrac{1}{2})^{2} -1 -3 = 4(x-\tfrac{1}{2})^{2}-4.
Logo
4x^{2}-4x-3 = 4\bigl((x-\tfrac{1}{2})^{2}-1\bigr).
Assim a raiz fica
\sqrt{4x^{2}-4x-3} = 2\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}.

Passo 3

Substituímos essa expressão na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} = \int \frac{dx}{2\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}}.
Agora fazemos a mudança de variável simples
u = x-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad du = dx.
A integral passa a ser
\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 4

Precisamos saber uma primitiva de \displaystyle\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}. Uma forma direta de obter isso é usar a substituição hiperbólica u=\operatorname{cosh} t, porque \operatorname{cosh}^{2}t-1=\operatorname{sinh}^{2}t.
Se u=\operatorname{cosh} t então du=\operatorname{sinh} t\,dt e \sqrt{u^{2}-1}=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}t-1}=\operatorname{sinh} t (para u\ge 1, e a expressão com valor absoluto funciona em geral). Assim
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}=\int \frac{\operatorname{sinh} t\,dt}{\operatorname{sinh} t}=\int dt = t + C.
Voltando a u, t=\operatorname{arcosh}u e uma fórmula equivalente em logaritmos é
\operatorname{arcosh}u = \ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)+\text{const.}
Portanto
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}=\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)+C.

Passo 5

Voltando à nossa integral com o fator \tfrac{1}{2} e recolocando u=x-\tfrac{1}{2}, obtemos
\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} = \frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)+C = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x-\tfrac{1}{2}+\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}\bigr)+C.
Esta forma é equivalente à forma fornecida no enunciado. Para ver isso rapidamente, note que multiplicando o argumento do log por 2 dentro do log só altera a primitiva por uma constante:
\ln\bigl(2(x-\tfrac{1}{2}+\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1})\bigr) = \ln\bigl(2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr),
e \tfrac{1}{2}\ln(2\cdot(\cdot))=\tfrac{1}{2}\ln(\cdot)+\tfrac{1}{2}\ln 2, diferença que é absorvida em C.
Observação sobre domínio: a expressão real da raiz exige (x-\tfrac{1}{2})^{2}-1>0, isto é |x-\tfrac{1}{2}|>1, ou seja x<-\tfrac{1}{2} ou x>\tfrac{3}{2}. A primitiva escrita com log é válida em cada ramo (com os módulos apropriados), e constantes podem diferir entre ramos.

Passo 6

Checagem rápida por diferenciação (raciocínio): se F(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{arcosh}\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr) então
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}}\cdot 1 =\frac{1}{2\sqrt{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-1}} =\frac{1}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}},
o que confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr)+C

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