Exercício 0.4 Sejam
. Se
então
.
Passo 1
O enunciado diz que, dados
, se
não é um natural então queremos mostrar que
é irracional. O plano é usar prova por absurdo: supor que
é racional e chegar a uma contradição com o fato de não ser inteiro. Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única) para concluir que o denominador dessa fração deve ser 1.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que
seja racional. Então existem coprimos
tais que
com
e
.
Passo 3
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
ou seja
Isso mostra que
divide
. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, a única forma de um número
coprimo com
elevar-se a uma potência
e ainda dividir
é
.
Passo 4
Se
então
o que contradiz a hipótese de que
não era inteiro.
Resposta
Portanto,
não pode ser racional, isto é,
.