Exercício 0.4 Sejam n, m \in \mathbb{N}. Se \sqrt[n]{m} \notin \mathbb{N} então \sqrt[n]{m} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado diz que, dados n,m\in\mathbb{N}, se \sqrt[n]{m} não é um natural então queremos mostrar que \sqrt[n]{m} é irracional. O plano é usar prova por absurdo: supor que \sqrt[n]{m} é racional e chegar a uma contradição com o fato de não ser inteiro. Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única) para concluir que o denominador dessa fração deve ser 1.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que \sqrt[n]{m} seja racional. Então existem coprimos a,b\in\mathbb{N} tais que
\sqrt[n]{m} = \frac{a}{b},
com \gcd(a,b)=1 e b>0.

Passo 3

Elevando ambos os lados à potência n, obtemos
m = \bigl(\sqrt[n]{m}\bigr)^n = \frac{a^n}{b^n}
ou seja
a^n = m\,b^n.
Isso mostra que b^n divide a^n. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, a única forma de um número b coprimo com a elevar-se a uma potência n e ainda dividir a^n é b=1.

Passo 4

Se b=1 então
\sqrt[n]{m} = \frac{a}{b} = a\in\mathbb{N},
o que contradiz a hipótese de que \sqrt[n]{m} não era inteiro.

Resposta

Portanto, \sqrt[n]{m} não pode ser racional, isto é, \sqrt[n]{m}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

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