Calcule as integrais duplas.
\iint_{R} y^{3} d A onde D é a região triangular com vértice (0,2),(1,1) e (3,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R} y^{3}\,dA
onde R é o triângulo com vértices (0,2), (1,1) e (3,1).
O conteúdo envolve descrição de região em coordenadas cartesianas e integração iterada.

Passo 2

Para facilitar, escolhemos integrar na ordem dx\,dy. Observando o triângulo, a coordenada y varia de
y_{\min}=1 \quad\text{até}\quad y_{\max}=2.é
Para cada y fixo, o x varia entre a reta que passa por (0,2) e (1,1) e a reta que passa por (0,2) e (3,1).
A reta AB satisfaz
y = -x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 - y,
e a reta CA satisfaz
y = -\tfrac{1}{3}x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 6 - 3y.
Logo, para y\in[1,2], temos
x_{\min}=2-y \quad\text{e}\quad x_{\max}=6-3y.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada como
\iint_{R} y^{3}\,dA = \int_{y=1}^{2} \Bigl[\, \int_{x=2-y}^{\,6-3y} y^{3}\,dx \Bigr]dy.

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
\int_{x=2-y}^{6-3y} y^{3}\,dx = y^{3}\bigl[(6-3y)-(2-y)\bigr] = y^{3}(4-2y) =4y^{3}-2y^{4}.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}(4y^{3}-2y^{4})\,dy = \Bigl[y^{4}-\tfrac{2}{5}y^{5}\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(16-\tfrac{64}{5}\bigr) - \bigl(1-\tfrac{2}{5}\bigr) = \tfrac{16}{5}-\tfrac{3}{5} = \tfrac{13}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{5}

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