1. \int \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)^{3 / 2}}, x>1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3/2}},\quad x>1.
Este problema se resolve por substituição trigonométrica, já que aparece a expressão \sqrt{x^{2}-1}. Vamos usar a transformação x=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo x=\operatorname{sec}\theta com 0\le\theta<\tfrac\pi2 e x>1, temos
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
e
x^{2}-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta, \quad \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3/2}=(\tan^{2}\theta)^{3/2}=\tan^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\tan^{3}\theta} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Reescrevendo \tfrac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}=\frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} =\cot\theta\,\csc\theta, fica
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{d\theta}(\csc\theta)=-\csc\theta\,\cot\theta,
então
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta =-\csc\theta + C.

Passo 5

Restituios \theta em função de x: como x=\operatorname{sec}\theta, temos \cos\theta=1/x e
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta} =\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Logo
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Assim a primitiva é
-\csc\theta + C =-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} =-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C. }

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