\int\left(\operatorname{sen} 2 x-\operatorname{cossec}{ }^{2} x\right) dx

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\sin(2x)-\csc^2(x)\bigr)\,dx.
Isso envolve dois conhecimentos principais de integrais:
  1. \displaystyle \int \sin(a x)\,dx = -\tfrac1a\cos(a x).
  2. \displaystyle \int \csc^2(x)\,dx = -\cot(x).

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos em duas partes:
\int\sin(2x)\,dx \;-\;\int\csc^2(x)\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, aplicamos
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).

Passo 4

Para a segunda parte, lembramos que
\int \csc^2(x)\,dx = -\cot(x).
Como há um sinal negativo na frente, fica
-\int \csc^2(x)\,dx = -\bigl(-\cot(x)\bigr) = \cot(x).

Passo 5

Somando as duas antiderivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\tfrac12\cos(2x)+\cot(x)+C.

Resposta

-\tfrac12\cos(2x)+\cot(x)+C

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