\int \frac{d x}{\left(4 x^{2}-9\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \frac{d x}{\bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2}}.
O conteúdo é integração de funções com radicais do tipo (ax^{2}-b)^{-3/2}. Vamos usar substituição trigonométrica para transformar esse radical em função de \theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta,
pois assim
4x^{2}-9 =4\Bigl(\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\Bigr)^{2}-9 =9\operatorname{sec}^{2}\theta-9 =9\tan^{2}\theta,
e
dx = \frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle\int \frac{dx}{(4x^{2}-9)^{3/2}}, obtemos
\int \frac{\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta} {\bigl(9\tan^{2}\theta\bigr)^{3/2}} =\int \frac{\tfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta} {27\,\tan^{3}\theta}\,d\theta =\frac{1}{18}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \displaystyle\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}=\cot\theta\,\csc\theta, fica
\frac{1}{18}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) =-\csc\theta\,\cot\theta,
logo
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta =-\csc\theta + C.
Portanto o integral em \theta é
\frac{1}{18}\bigl(-\csc\theta\bigr)+C =-\frac{1}{18}\csc\theta + C.

Passo 5

Volta à variável x. Da substituição x=\tfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta temos
\operatorname{sec}\theta = \frac{2x}{3}, \quad \cos\theta = \frac{3}{2x}, \quad \sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} =\frac{\sqrt{4x^{2}-9}}{2x},
então
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} =\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-9}}.
Logo a primitiva em x é
-\frac{1}{18}\,\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-9}}+C =-\frac{x}{9\sqrt{4x^{2}-9}}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{d x}{\bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2}} =-\frac{x}{9\sqrt{4x^{2}-9}}+C. }

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