\int \frac{6 d x}{x \sqrt{25 x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6\,dx}{x\sqrt{25x^{2}-1}}.
O conteúdo envolve integrais que resultam em funções trigonométricas inversas. Vamos usar a substituição que reduza o radicando a u^{2}-1, chegando ao padrão
\displaystyle \int \frac{du}{u\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 2

Fazendo u=5x, temos du=5\,dx e dx=\tfrac{du}{5}. Substituindo na integral:
\int \frac{6\,dx}{x\sqrt{25x^{2}-1}} =\int \frac{6}{x\sqrt{u^{2}-1}}\;\frac{du}{5} =\frac{6}{5}\int \frac{du}{x\sqrt{u^{2}-1}}.
Como x=\tfrac{u}{5},
\frac{6}{5}\int \frac{du}{(u/5)\sqrt{u^{2}-1}} =6\int \frac{du}{u\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsec}(u)\bigr) =\frac{1}{|u|\sqrt{u^{2}-1}}.
No nosso domínio x>1/5 vem u=5x>1, logo |u|=u. Portanto
\int \frac{du}{u\sqrt{u^{2}-1}} =\operatorname{arcsec}(u)+C.
Multiplicando por 6 e retornando a x, obtemos
6\,\operatorname{arcsec}(5x)+C.

Resposta

6\,\operatorname{arcsec}(5x)+C

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