\int \frac{d r}{r \sqrt{r^{2}-9}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dr}{r\sqrt{r^{2}-9}}.
Este tipo de integral envolve uma raiz quadrática do tipo \sqrt{r^{2}-a^{2}}. Para resolvê-la, vamos usar substituição trigonométrica apropriada e em seguida voltar à variável r.

Passo 2

Reconhecemos que \sqrt{r^{2}-9} sugere a substituição
r = 3\operatorname{sec}\theta,
pois então \sqrt{r^{2}-9} = \sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta - 9} = 3\tan\theta. Calculamos também
dr = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{dr}{r\sqrt{r^{2}-9}}, obtemos
\int \frac{3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\bigl(3\operatorname{sec}\theta\bigr)\bigl(3\tan\theta\bigr)} = \int \frac{3\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{9\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\int d\theta.

Passo 4

A integral em \theta é imediata:
\frac{1}{3}\int d\theta = \frac{\theta}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltemos a r. Da substituição r = 3\operatorname{sec}\theta segue
\operatorname{sec}\theta = \frac{r}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{r}{3}\bigr).
Logo,
\int \frac{dr}{r\sqrt{r^{2}-9}} = \frac{1}{3}\,\operatorname{arcsec}\!\Bigl(\frac{r}{3}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\,\operatorname{arcsec}\!\Bigl(\frac{r}{3}\Bigr) + C

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