1. \int \frac{d x}{2 x^{2}-2 x+1} (resp. \quad \operatorname{arctg}(2 x-1)+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{2x^{2}-2x+1}.
Este é um caso de integral de expressão quadrática no denominador; vamos usar técnica de completar o quadrado e a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
2x^{2}-2x+1 = 2\bigl(x^{2}-x+\tfrac12\bigr) = 2\Bigl[\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac12\bigr)^{2}\Bigr].

Passo 3

Reescrevendo a integral com esse resultado:
\int \frac{dx}{2x^{2}-2x+1} = \int \frac{dx}{2\bigl[(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac12)^{2}\bigr]} = \frac12 \int \frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac12)^{2}}.

Passo 4

Definimos a substituição u = x-\tfrac12, logo du = dx e temos a = \tfrac12. Assim
\frac12 \int \frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac12)^{2}} = \frac12 \int \frac{du}{u^{2}+(\tfrac12)^{2}} = \frac12 \cdot \frac{1}{\tfrac12}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{u}{\tfrac12}\bigr) + C.
Como \tfrac12\cdot\tfrac{1}{\tfrac12}=1 e \tfrac{u}{\tfrac12}=2u=2x-1, resulta

Resposta

\operatorname{arctg}(2x-1)+C.

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