1. \int \frac{(3 x-2) d x}{5 x^{2}-3 x+2} (resp. \left.\quad \frac{3}{10} \ln \left|5 x^{2}-3 x+2\right|-\frac{11}{5 \sqrt{31}} \operatorname{arctg}\left(\frac{10 x-3}{\sqrt{31}}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x-2}{5x^{2}-3x+2}\,dx
Este é um caso clássico de fração racional cujo denominador é um polinômio quadrático sem raízes reais (discriminante negativo). Vamos usar a técnica de decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador mais uma constante, integrar a parte “derivada” gerando logaritmo e a parte constante por meio de complemento do quadrado, que leva a arctan.

Passo 2

Seja D(x)=5x^{2}-3x+2. Então
D'(x)=10x-3.
Procuramos \alpha e \beta tais que
3x-2 = \alpha\,(10x-3) + \beta.
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
10\alpha = 3 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{3}{10},
-3\alpha + \beta = -2 \quad\Rightarrow\quad \beta = -2 + \tfrac{9}{10} = -\tfrac{11}{10}.
Logo
\frac{3x-2}{D(x)} = \frac{3}{10}\,\frac{D'(x)}{D(x)} \;+\; \Bigl(-\tfrac{11}{10}\Bigr)\,\frac{1}{D(x)}.

Passo 3

Escrevendo a integral em duas partes:
\int \frac{3x-2}{D(x)}\,dx = \frac{3}{10}\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx \;-\;\frac{11}{10}\int \frac{dx}{D(x)}.
A primeira integral é imediata:
\frac{3}{10}\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx = \frac{3}{10}\ln\bigl|D(x)\bigr|.

Passo 4

Restou
\int \frac{dx}{5x^{2}-3x+2}.
Fazemos o complemento do quadrado em 5x^{2}-3x+2:
5x^{2}-3x+2 =5\Bigl(x^{2}-\tfrac{3}{5}x\Bigr)+2 =5\Bigl(x-\tfrac{3}{10}\Bigr)^{2}+\frac{31}{20}.
Logo
\int \frac{dx}{D(x)} = \int \frac{dx}{5\,(x-\tfrac{3}{10})^{2}+\tfrac{31}{20}} = \frac{20}{31}\int \frac{dx}{1+\bigl(\tfrac{10}{\sqrt{31}}(x-\tfrac{3}{10})\bigr)^{2}}.
Com a substituição
u = \frac{10}{\sqrt{31}}\Bigl(x-\tfrac{3}{10}\Bigr), \quad du = \frac{10}{\sqrt{31}}\,dx
vem
\int \frac{dx}{D(x)} = \frac{20}{31}\cdot\frac{\sqrt{31}}{10} \int \frac{du}{1+u^{2}} = \frac{2\sqrt{31}}{31}\,\arctan(u) = \frac{2\sqrt{31}}{31}\,\arctan\!\Bigl(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}\Bigr).

Passo 5

Voltando ao termo com \beta=-\tfrac{11}{10}:
-\frac{11}{10}\int \frac{dx}{D(x)} = -\frac{11}{10}\cdot\frac{2\sqrt{31}}{31} \;\arctan\!\Bigl(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}\Bigr) = -\frac{11}{5\sqrt{31}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}\Bigr).
Somando com o logaritmo, obtemos a integral completa.

Resposta

\int \frac{3x-2}{5x^{2}-3x+2}\,dx = \frac{3}{10}\ln\bigl|5x^{2}-3x+2\bigr| -\frac{11}{5\sqrt{31}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}\Bigr) + C.

Exercícios relacionados