1. \int \frac{x^{4} d x}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)} (resp. \quad \frac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x+1}\right|+\frac{16}{3} \ln |x+2|+C )

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{4}}{(x^{2}-1)(x+2)}\,dx.
Isso é uma integral de função racional. Vamos aplicar divisão de polinômios para reduzir o grau do numerador e depois usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos o denominador como
(x^{2}-1)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-x-2
e dividimos x^4 por esse polinômio:
x^4\div(x^3+2x^2 -x-2)=x-2\quad\text{com resto }5x^2-4.
Logo
\frac{x^4}{(x^2-1)(x+2)} = x-2 + \frac{5x^2-4}{(x-1)(x+1)(x+2)}.

Passo 3

Para a fração restante, suponho
\frac{5x^2-4}{(x-1)(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando pelo denominador comum:
5x^2-4 = A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1).

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B + C = 5,\\\\ 3A + B = 0,\\\\ 2A - 2B - C = -4. \end{cases}
Daí segue
A=\tfrac{1}{6},\quad B=-\tfrac12,\quad C=\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Então a integral separa-se assim:
\int \frac{x^4}{(x^2-1)(x+2)}\,dx = \int(x-2)\,dx +\int\Bigl(\tfrac{1/6}{x-1}-\tfrac{1/2}{x+1}+\tfrac{16/3}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int(x-2)\,dx = \tfrac{x^2}{2}-2x, \quad \int\tfrac{1/6}{x-1}\,dx = \tfrac{1}{6}\ln|x-1|,
\int-\tfrac{1/2}{x+1}\,dx = -\tfrac12\ln|x+1|, \quad \int\tfrac{16/3}{x+2}\,dx = \tfrac{16}{3}\ln|x+2|.

Passo 6

Somando tudo, chega-se a
\frac{x^2}{2}-2x+\frac{1}{6}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+\frac{16}{3}\ln|x+2|+C.
Observando que
\frac{1}{6}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1| =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{(x-1)^{1/3}}{\,x+1}\Bigr|,
podemos escrever de forma condensada.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{2}-2x+\frac12\ln\Bigl|\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x+1}\Bigr|+\frac{16}{3}\ln|x+2|+C

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