1. \int \frac{\left(x^{5}+x^{4}-8\right) d x}{x^{3}-4 x} (resp. \quad 4 x+2 \ln x+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+5 \ln |x-2|-3 \ln |x+2|+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{5} + x^{4} - 8}{x^{3} - 4x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a integração de uma função racional cujo numerador tem grau maior ou igual ao do denominador. Para resolver, vamos usar:
  1. Divisão de polinômios (para reduzir o grau do numerador).
  2. Decomposição em frações parciais (para integrar termos do tipo 1/(x-a)).

Passo 2

Fazemos a divisão do polinômio x^{5} + x^{4} - 8 por x^{3} - 4x:
\frac{x^{5} + x^{4} - 8}{x^{3} - 4x} = x^{2} + x + 4 \;+\;\frac{4x^{2} + 16x - 8}{x^{3} - 4x}.
Logo,
\int \frac{x^{5} + x^{4} - 8}{x^{3} - 4x}\,dx = \int \bigl(x^{2} + x + 4\bigr)\,dx + \int \frac{4x^{2} + 16x - 8}{x^{3} - 4x}\,dx.

Passo 3

Fatoramos o denominador remanescente:
x^{3} - 4x = x\,(x^{2} - 4) = x\,(x-2)\,(x+2).
Escrevemos então
\frac{4x^{2} + 16x - 8}{x\,(x-2)\,(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+2)\) e igualando coeficientes obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B + C = 4,\\\\ 2B - 2C = 16,\\\\ -4A = -8. \end{cases}
Da terceira equação vem A=2\]. Das duas primeiras, \(B - C = 8 e B + C = 2, logo B=5 e C=-3.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{4x^{2} + 16x - 8}{x^{3} - 4x}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x} + \frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2}\Bigr)\,dx.
Então a integral original se torna
\int \bigl(x^{2} + x + 4\bigr)\,dx + \int \frac{2}{x}\,dx + \int \frac{5}{x-2}\,dx - \int \frac{3}{x+2}\,dx.
Integrando termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 4\,dx = 4x,
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\bigl|x\bigr|,\quad \int \frac{5}{x-2}\,dx = 5\ln\bigl|x-2\bigr|,\quad \int \frac{-3}{x+2}\,dx = -3\ln\bigl|x+2\bigr|.

Resposta

4x \;+\; 2\ln\bigl|x\bigr| \;+\; \frac{x^{2}}{2} \;+\; \frac{x^{3}}{3} \;+\; 5\ln\bigl|x-2\bigr| \;-\; 3\ln\bigl|x+2\bigr| \;+\; C.

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