\int \frac{\ln |x|}{x^{3}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln|x|}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \dfrac{\ln|x|}{x^{3}} = \ln|x|\cdot x^{-3}.
  • Como aparece \ln|x|, a expressão está definida para x\neq0. Ou seja, temos que ter cuidado com o domínio na interpretação da resposta.
  • O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método de integração por partes. Motivo: a integranda é produto de uma função logarítmica \ln|x| com uma potência de x (aqui x^{-3}). Quando aparece \ln|x| multiplicando algo simples, a integração por partes é quase sempre a melhor opção, porque ao derivar \ln|x| obtemos 1/x, que simplifica o expoente de x restante.

Passo 3

Lembrete da fórmula de integração por partes e como aplicá-la:
A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integranda. Aqui:
  • escolhemos u=\ln|x|. Isso é conveniente porque du=\dfrac{1}{x}\,dx é mais simples;
  • escolhemos dv=x^{-3}\,dx. Então precisamos calcular v=\int x^{-3}\,dx.

Passo 4

Calcular v e du passo a passo:
  • du=\dfrac{d}{dx}(\ln|x|)\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx. (Lembre que a derivada de \ln|x| é 1/x para x\neq0.)
  • Para achar v:
v=\int x^{-3}\,dx.
Integramos potência: para x^{n} com n\neq -1, \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-3, então
v=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \frac{\ln|x|}{x^{3}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=\ln|x|, v=-\dfrac{1}{2x^{2}} e du=\dfrac{1}{x}\,dx,
\int \frac{\ln|x|}{x^{3}}\,dx = \left(\ln|x|\right)\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Simplificando sinais e potências dentro do integrando:
\int \frac{\ln|x|}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln|x|}{2x^{2}} + \frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx,
porque -\frac{1}{2x^{2}}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{1}{2}x^{-3}, e o menos do -\int(\cdots) vira mais.

Passo 6

Calcular a integral restante \int x^{-3}\,dx e combinar termos:
Sabemos (do Passo 4) que
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Portanto
\frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) = -\frac{1}{4x^{2}}.
Substituindo de volta:
\int \frac{\ln|x|}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln|x|}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificação final (opcional): podemos juntar os termos em uma fração só se quisermos uma forma mais compacta:
-\frac{\ln|x|}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} = -\frac{2\ln|x|+1}{4x^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; mantenho a primeira para destacar a parte com \ln|x|.

Passo 8

Verificação rápida por derivação (checar que a primitiva encontrada é correta):
Se F(x) = -\dfrac{\ln|x|}{2x^{2}} - \dfrac{1}{4x^{2}}, então usar regra do produto e da cadeia para -\dfrac{1}{2}\ln|x| \cdot x^{-2} dá, após cálculo, F'(x)=\dfrac{\ln|x|}{x^{3}}. Essa verificação confirma que encontramos uma primitiva correta (detalhes da diferenciação podem ser feitos passo a passo se você quiser praticar).

Resposta

-\frac{\ln|x|}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} + C

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