Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
. - Como aparece
, a expressão está definida para . Ou seja, temos que ter cuidado com o domínio na interpretação da resposta. - O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método de integração por partes. Motivo: a integranda é produto de uma função logarítmica
com uma potência de
(aqui
). Quando aparece
multiplicando algo simples, a integração por partes é quase sempre a melhor opção, porque ao derivar
obtemos
, que simplifica o expoente de
restante.
Passo 3
Lembrete da fórmula de integração por partes e como aplicá-la:
A fórmula é
A fórmula é
onde
e
são partes escolhidas da integranda. Aqui:
- escolhemos
. Isso é conveniente porque é mais simples; - escolhemos
. Então precisamos calcular .
Passo 4
Calcular
e
passo a passo:
-
. (Lembre que a derivada de é para .) - Para achar
:
Integramos potência: para
com
,
. Aqui
, então
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
,
Simplificando sinais e potências dentro do integrando:
porque
, e o menos do
vira mais.
Passo 6
Calcular a integral restante
e combinar termos:
Sabemos (do Passo 4) que
Sabemos (do Passo 4) que
Portanto
Substituindo de volta:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificação final (opcional): podemos juntar os termos em uma fração só se quisermos uma forma mais compacta:
Ambas as formas são equivalentes; mantenho a primeira para destacar a parte com
.
Passo 8
Verificação rápida por derivação (checar que a primitiva encontrada é correta):
Se , então usar regra do produto e da cadeia para
dá, após cálculo,
. Essa verificação confirma que encontramos uma primitiva correta (detalhes da diferenciação podem ser feitos passo a passo se você quiser praticar).
Se