Para -1<x<1, encontre as soluções de
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+12 y=0
em termos de séries de potências.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: encontrar as soluções da equação diferencial \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+12 y=0para -1<x<1 usando séries de potências.
  • Informação dada: a equação é válida no intervalo -1<x<1 (ou seja, queremos séries centradas em x=0 que convergem nesse intervalo).
  • Objetivo explícito: apresentar as soluções em termos de séries de potências (duas soluções linearmente independentes, formando a solução geral).

Passo 2

Escolha da forma em série e cálculo das derivadas
  • Vamos tentar uma solução em série de potências centrada em 0. Assumimos y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,onde os a_n são constantes a determinar.
  • Derivando termo a termo temos y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
  • Essas expressões serão substituídas na equação diferencial. A ideia é alinhar potências de x para obter uma relação (recorrência) entre os coeficientes a_n.

Passo 3

Substituição na equação e obtenção da recorrência
  • Substituindo y, y' e y'' na equação (1-x^2)y'' - 2x y' + 12 y = 0,obtemos, primeiro, as duas partes separadas: (1-x^2)y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} \;-\; \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n},
-2x y' = -2 \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n},
12 y = 12 \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}.
  • Agora escrevemos tudo como potências x^m com o mesmo índice. Na primeira soma da expressão para (1-x^2)y'' fazemos troca de índice m=n-2 (ou seja n=m+2) para obter potências x^m: \sum_{m=0}^\infty (m+2)(m+1)a_{m+2} x^{m} \;-\; \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n}.Reescrevendo todas as somas em potência x^n (usaremos n como índice final) obtemos a soma total \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n} \;-\;2\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n} \;+\;12\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}=0.
  • Agrupando as somas para todas as potências x^n (observando os primeiros termos, que podem começar em n=0 ou n=1), para todo n\ge0 obtemos a relação (n+2)(n+1)a_{n+2} - \bigl[n(n-1)+2n -12\bigr] a_n =0.Simplificando o coeficiente entre colchetes: n(n-1)+2n-12 = n^2 + n -12 = n(n+1)-12.Portanto a recorrência é \boxed{(n+2)(n+1)a_{n+2} = \bigl(n(n+1)-12\bigr) a_n,\qquad n\ge0.}

Passo 4

Interpretação da recorrência e independência das séries par/ímpar
  • A recorrência liga a_{n+2} com a_n. Logo os coeficientes com índices pares dependem apenas de a_0 e os coeficientes com índices ímpares dependem apenas de a_1. Assim teremos duas soluções independentes geradas por escolher a_0 e a_1 arbitrários.
  • Escrevendo a forma explícita: \boxed{a_{n+2} = \frac{n(n+1)-12}{(n+2)(n+1)}\, a_n.}Isso vale para todo n\ge0. Vamos calcular algumas obtenções para ver o padrão e se alguma série termina (polinômio).

Passo 5

Solução ímpar (série iniciada em a_1) — ocorre terminação (polinômio)
  • Começando com a_1 arbitrário e a_0=0, a recorrência para os índices ímpares é:
    • Para n=1: a_3 = \frac{1\cdot 2 -12}{3\cdot 2} a_1 = \frac{2-12}{6} a_1 = -\frac{10}{6}a_1 = -\frac{5}{3} a_1.
    • Para n=3: a_5 = \frac{3\cdot 4 -12}{5\cdot 4} a_3 = \frac{12-12}{20} a_3 = 0.
    • Como a_5=0, e a recorrência define a_7 em função de a_5, todos os coeficientes superiores a_{2m+1} com m\ge2 serão zero. Portanto a série ímpar termina: é um polinômio de grau 3.
  • Assim, com a_1 como parâmetro, a solução ímpar é y_{\text{ímpar}}(x)=a_1\Bigl(x + a_3 x^3\Bigr)=a_1\Bigl(x -\tfrac{5}{3}x^3\Bigr).íPodemos escolher a normalização conveniente. Observando que o polinômio acima é proporcional ao polinômio de grau 3 conhecido, uma escolha simples é tomar a_1=1 e obter y_2(x)=x -\tfrac{5}{3}x^3.(Qualquer múltiplo dessa função também é solução; na solução geral ela aparecerá multiplicada por uma constante.)

Passo 6

Solução par (série iniciada em a_0) — série infinita e fórmula geral dos coeficientes pares
  • Começando com a_0 arbitrário e a_1=0, calculamos alguns coeficientes pares usando a recorrência:
    • Para n=0: a_2 = \frac{0\cdot 1 -12}{2\cdot 1} a_0 = -6 a_0.
    • Para n=2: a_4 = \frac{2\cdot 3 -12}{4\cdot 3} a_2 = \frac{6-12}{12} a_2 = -\tfrac{1}{2}a_2 = -\tfrac{1}{2}(-6 a_0)=3 a_0.
    • Para n=4: a_6 = \frac{4\cdot 5 -12}{6\cdot 5} a_4 = \frac{20-12}{30} a_4 = \tfrac{8}{30} a_4 = \tfrac{4}{15} a_4 = \tfrac{4}{15}\cdot 3 a_0 = \tfrac{4}{5}a_0.
    • Para n=6: a_8 = \frac{6\cdot 7 -12}{8\cdot 7} a_6 = \frac{42-12}{56} a_6 = \tfrac{30}{56} a_6 = \tfrac{15}{28} a_6 = \tfrac{15}{28}\cdot \tfrac{4}{5} a_0 = \tfrac{3}{7}a_0.
  • Não ocorre terminação para a sequência par (os numeradores n(n+1)-12 raramente ficam zero para n par — o zero aconteceu apenas em n=3, ímpar). Assim a solução par é uma série infinita.
  • Para escrever os coeficientes pares de forma geral, para m\ge1 e usando n=2k com k=0,1,2,\dots, temos a_{2(k+1)}=\frac{(2k)(2k+1)-12}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k}.Iterando, obtemos a fórmula por produto: \displaystyle a_{2m}=a_0\prod_{k=0}^{m-1}\frac{(2k)(2k+1)-12}{(2k+2)(2k+1)}\qquad (m\ge1).
  • Escrevendo então a série par (com a_0=1 para fixar normalização) obtemos os primeiros termos: y_1(x)=1 -6x^2 +3x^4 +\tfrac{4}{5}x^6 +\tfrac{3}{7}x^8+\cdots,onde os coeficientes seguem a fórmula do produto acima.

Passo 7

Independência linear e solução geral
  • As duas séries encontradas (a série par infinita iniciada em a_0 e o polinômio ímpar de grau 3 iniciada em a_1) são linearmente independentes (uma é par, a outra é ímpar, portanto não são múltiplos uma da outra).
  • Logo a solução geral da equação diferencial no intervalo -1<x<1 é combinação linear das duas: y(x)=C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x),onde y_1 é a série par descrita (com a_0 como parâmetro) e y_2(x)=x-\tfrac{5}{3}x^3 é o polinômio de grau 3 obtido.

Resposta

y(x)=C_{1}\displaystyle\Bigl(1-6x^{2}+3x^{4}+\tfrac{4}{5}x^{6}+\tfrac{3}{7}x^{8}+\cdots\Bigr)+C_{2}\Bigl(x-\tfrac{5}{3}x^{3}\Bigr), onde os coeficientes pares da série satisfazem
a_{2m}=a_0\prod_{k=0}^{m-1}\frac{(2k)(2k+1)-12}{(2k+2)(2k+1)}\quad(m\ge1)
e a recorrência geral é
a_{n+2}=\frac{n(n+1)-12}{(n+2)(n+1)}\,a_n.

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