Para
, encontre as soluções de
em termos de séries de potências.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: encontrar as soluções da equação diferencial
para usando séries de potências. - Informação dada: a equação é válida no intervalo
(ou seja, queremos séries centradas em que convergem nesse intervalo). - Objetivo explícito: apresentar as soluções em termos de séries de potências (duas soluções linearmente independentes, formando a solução geral).
Passo 2
Escolha da forma em série e cálculo das derivadas
- Vamos tentar uma solução em série de potências centrada em
. Assumimos onde os são constantes a determinar. - Derivando termo a termo temos
- Essas expressões serão substituídas na equação diferencial. A ideia é alinhar potências de
para obter uma relação (recorrência) entre os coeficientes .
Passo 3
Substituição na equação e obtenção da recorrência
- Substituindo
, e na equação obtemos, primeiro, as duas partes separadas:
- Agora escrevemos tudo como potências
com o mesmo índice. Na primeira soma da expressão para fazemos troca de índice (ou seja ) para obter potências : Reescrevendo todas as somas em potência (usaremos como índice final) obtemos a soma total - Agrupando as somas para todas as potências
(observando os primeiros termos, que podem começar em ou ), para todo obtemos a relação Simplificando o coeficiente entre colchetes: Portanto a recorrência é
Passo 4
Interpretação da recorrência e independência das séries par/ímpar
- A recorrência liga
com . Logo os coeficientes com índices pares dependem apenas de e os coeficientes com índices ímpares dependem apenas de . Assim teremos duas soluções independentes geradas por escolher e arbitrários. - Escrevendo a forma explícita:
Isso vale para todo . Vamos calcular algumas obtenções para ver o padrão e se alguma série termina (polinômio).
Passo 5
Solução ímpar (série iniciada em
) — ocorre terminação (polinômio)
- Começando com
arbitrário e , a recorrência para os índices ímpares é: - Para
: - Para
: - Como
, e a recorrência define em função de , todos os coeficientes superiores com serão zero. Portanto a série ímpar termina: é um polinômio de grau .
- Para
- Assim, com
como parâmetro, a solução ímpar é Podemos escolher a normalização conveniente. Observando que o polinômio acima é proporcional ao polinômio de grau 3 conhecido, uma escolha simples é tomar e obter (Qualquer múltiplo dessa função também é solução; na solução geral ela aparecerá multiplicada por uma constante.)
Passo 6
Solução par (série iniciada em
) — série infinita e fórmula geral dos coeficientes pares
- Começando com
arbitrário e , calculamos alguns coeficientes pares usando a recorrência: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
- Não ocorre terminação para a sequência par (os numeradores
raramente ficam zero para par — o zero aconteceu apenas em , ímpar). Assim a solução par é uma série infinita. - Para escrever os coeficientes pares de forma geral, para
e usando com , temos Iterando, obtemos a fórmula por produto: - Escrevendo então a série par (com
para fixar normalização) obtemos os primeiros termos: onde os coeficientes seguem a fórmula do produto acima.
Passo 7
Independência linear e solução geral
- As duas séries encontradas (a série par infinita iniciada em
e o polinômio ímpar de grau 3 iniciada em ) são linearmente independentes (uma é par, a outra é ímpar, portanto não são múltiplos uma da outra). - Logo a solução geral da equação diferencial no intervalo
é combinação linear das duas: onde é a série par descrita (com como parâmetro) e é o polinômio de grau 3 obtido.
Resposta
e a recorrência geral é