(Valor: 2,0 pontos) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64 \mathrm{~cm}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as dimensões da caixa retangular que apresentam o maior volume, sabendo que a área total da superfície da caixa é 64\\ \mathrm{cm}^2.\n
Informações dadas:
A caixa é retangular com arestas (comprimentos) que vamos chamar de x, y e z, todas em centímetros.
A área total da superfície vale 64\\ \mathrm{cm}^2.
Queremos maximizar o volume da caixa sob essa restrição de área.
Passo 2
Definimos as funções que usaremos:
Volume da caixa: V(x,y,z)=xyz.
Restrição (área total da superfície): a área de uma caixa retangular é 2(xy+xz+yz), portanto a restrição é 2(xy+xz+yz)=64.
Vou escrever a restrição na forma g(x,y,z)=0 com g(x,y,z)=2(xy+xz+yz)-64.
Passo 3
Explicando o método dos multiplicadores de Lagrange (de forma simples): para maximizar V sujeito à restrição g=0 procuramos pontos onde os gradientes são proporcionais, isto é, existe um escalar \lambda tal que
\nabla V(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z).
Intuitivamente, no ponto ótimo a direção de maior crescimento de V está alinhada com a direção que mantém a restrição (capturada por \nabla g). O número \lambda é o multiplicador de Lagrange; não precisamos interpretá-lo fisicamente aqui, só resolver o sistema.
Agora resolvemos o sistema. Primeiro observe que, para obter volume máximo, devemos ter x,y,z>0 (se alguma aresta fosse zero o volume seria zero, e existe uma configuração com volume positivo). Como x,y,z\neq0 podemos manipular as equações. Dividindo a primeira pela segunda (lado a lado) temos
\frac{yz}{xz}=\frac{y+z}{x+z}.
Isso simplifica para
\frac{y}{x}=\frac{y+z}{x+z}.
Multiplicando em cruz:
y(x+z)=x(y+z)\implies yx+yz=xy+xz\implies yz=xz.
Como z\neq0, segue y=x.
De forma análoga, dividindo a primeira pela terceira e repetindo o argumento dá z=x. Portanto chegamos à conclusão
x=y=z.
Passo 6
Com x=y=z substituímos na restrição de área. A restrição era 2(xy+xz+yz)=64. Como x=y=z temos xy=x^2 etc., então
Escolhemos a raiz positiva porque medidas de comprimento são positivas, portanto x=\sqrt{\tfrac{32}{3}} (o valor numérico exato será dado na resposta final).
Passo 7
Resumo lógico: pelo método de Lagrange obtivemos que, para máxima volume sob a restrição dada, as três arestas são iguais; ou seja, a caixa ótima é um cubo. O valor de x^2 foi determinado pela condição da área; restou escolher a raiz positiva, que nos dá a dimensão do cubo.