1. \int \frac{\operatorname{sen} 3 x}{2+\cos 3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \frac{\sin(3x)}{2+\cos(3x)}\,dx, que é uma integral de uma função trigonométrica racional. Vamos usar uma substituição adequada, já que a derivada de \cos(3x) é proporcional a \sin(3x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + \cos(3x).
Derivando, obtemos
du = -3\,\sin(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{\sin(3x)}{2+\cos(3x)}\,dx, vem
\int \frac{\sin(3x)}{2+\cos(3x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\sin(3x)\,dx = \int \frac{1}{u}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert, temos
-\tfrac{1}{3}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + C.
Voltando à variável original, u = 2 + \cos(3x), concluímos
-\tfrac{1}{3}\ln\bigl\lvert 2 + \cos(3x)\bigr\rvert + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\,\ln\bigl\lvert 2 + \cos(3x)\bigr\rvert + C

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