1. \int x \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx,
que podemos resolver usando substituição (método de mudança de variável).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int x\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx, obtemos
\int x\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que a primitiva de \operatorname{sec}^{2}(u) é \tan(u). Portanto,
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\,\tan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x^{2}. Assim, a antiderivada fica
\frac{1}{2}\,\tan\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)+C

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