1. \int e^{x} \operatorname{senh}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}\,\senh\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição em integrais, usando que a derivada de e^{x} é exatamente e^{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x}, \quad du = e^{x}\,dx.
Com isso, a integral original transforma-se em
\int e^{x}\,\senh\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \senh(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosh}(u)\bigr) = \senh(u),
logo
\int \senh(u)\,du = \operatorname{cosh}(u) + C.
Voltando à variável x, obtemos
\operatorname{cosh}\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\operatorname{cosh}\bigl(e^{x}\bigr) + C

Exercícios relacionados