1. \int \frac{(7 x+1) d x}{6 x^{2}+x-1} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{2} \ln |2 x+1|+\frac{2}{3} \ln |3 x-1|+C\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
\int \frac{7x+1}{6x^{2}+x-1}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é o polinômio 7x+1.
  • O denominador é o polinômio 6x^{2}+x-1, de grau 2.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
    Não vou resolver nada ainda; só organizei o que está pedido e os dados.

Passo 2

Fatorar o denominador (útil para decompor em frações parciais). Vamos tentar fatorar 6x^{2}+x-1. Procuramos fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d). Observando, testamos a fatoração
6x^{2}+x-1 = (2x+1)(3x-1).
Verificação rápida (expandindo):
(2x+1)(3x-1)=6x^{2}-2x+3x-1=6x^{2}+x-1,
portanto a fatoração está correta.

Passo 3

Motivo da decomposição em frações parciais: como o denominador se escreve como produto de fatores lineares distintos (2x+1)(3x-1) e o grau do numerador é menor que o do denominador, podemos escrever
\frac{7x+1}{6x^{2}+x-1}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{3x-1},
onde A e B são constantes a determinar. Isso é a forma padrão de decompor frações racionais com fatores lineares distintos no denominador.

Passo 4

Determinar A e B: multiplica-se a igualdade acima pelo denominador (2x+1)(3x-1) para obter igualdade de numeradores:
7x+1 = A(3x-1) + B(2x+1).
Expandindo o lado direito:
7x+1 = (3A+2B)x + (-A+B).
Agora igualamos coeficientes de x e termos constantes:
\begin{cases} 3A+2B = 7,\\[4pt] -A + B = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para A e B. Da segunda equação temos B = 1 + A. Substituindo na primeira:
3A + 2(1+A) = 7 \quad\Rightarrow\quad 3A + 2 + 2A = 7 \quad\Rightarrow\quad 5A = 5,
então
A = 1.
E portanto
B = 1 + A = 2.

Passo 6

Reescrever a integral usando os valores de A e B:
\int \frac{7x+1}{6x^{2}+x-1}\,dx = \int\left(\frac{1}{2x+1}+\frac{2}{3x-1}\right)\,dx.
Agora usamos a fórmula básica de integração:
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,
onde a e b são constantes. Essa fórmula vem da substituição u=ax+b, du=a\,dx.

Passo 7

Aplicando a fórmula termo a termo:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx temos a=2, logo o resultado é \dfrac{1}{2}\ln|2x+1|.
  • Para \displaystyle \int \frac{2}{3x-1}\,dx podemos tirar o 2 como constante e aplicar a fórmula com a=3, obtendo 2\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-1|=\dfrac{2}{3}\ln|3x-1|.
Somando os dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln|2x+1|+\dfrac{2}{3}\ln|3x-1|+C

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