-
resp.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
, de grau 2. - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o que está pedido e os dados.
Passo 2
Fatorar o denominador (útil para decompor em frações parciais). Vamos tentar fatorar
. Procuramos fatores lineares do tipo
. Observando, testamos a fatoração
Verificação rápida (expandindo):
portanto a fatoração está correta.
Passo 3
Motivo da decomposição em frações parciais: como o denominador se escreve como produto de fatores lineares distintos
e o grau do numerador é menor que o do denominador, podemos escrever
onde
e
são constantes a determinar. Isso é a forma padrão de decompor frações racionais com fatores lineares distintos no denominador.
Passo 4
Determinar
e
: multiplica-se a igualdade acima pelo denominador
para obter igualdade de numeradores:
Expandindo o lado direito:
Agora igualamos coeficientes de
e termos constantes:
Passo 5
Resolver o sistema para
e
. Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
então
E portanto
Passo 6
Reescrever a integral usando os valores de
e
:
Agora usamos a fórmula básica de integração:
onde
e
são constantes. Essa fórmula vem da substituição
,
.
Passo 7
Aplicando a fórmula termo a termo:
- Para
temos , logo o resultado é . - Para
podemos tirar o como constante e aplicar a fórmula com , obtendo .
Somando os dois termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva.