-
(resp.
)
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
e fornece como resultado esperado
Informações dadas relevantes:
- A integral é racional (quociente de polinômios).
- O denominador é
, que tem fatores lineares simples e repetidos.
Passo 2
Quando temos uma função racional com denominador sendo produto de fatores lineares (alguns possivelmente repetidos), o método padrão é decompor em frações parciais. A forma geral da decomposição, neste caso, é
onde
são constantes a determinar. Vou agora obter essas constantes.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Isto é uma identidade polinomial válida para todo
. Uma técnica rápida é usar valores de
que zerem fatores para obter algumas constantes diretamente.
Pegando
:
Pegando
:
Agora já sabemos
e
.
Passo 4
Com
Posso obter duas equações escolhendo dois valores convenientes de
diferentes de
e
. Escolho
e
.
Para
:
ou seja
Para
:
ou seja
Agora resolvo o sistema
Subtraindo a primeira da segunda:
dá
.
Portanto
Passo 5
Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
Passo 6
Agora integro termo a termo. Vou lembrar as fórmulas básicas que vou usar (explicando rapidinho cada uma):
- Integral de
: . Aqui a ideia é que a derivada de é . - Integral de
: mesma coisa por substituição; . - Integral de
com : . Em particular: -
Vou aplicar essas fórmulas a cada parcela.
Passo 7
Integro cada parcela:
Somando todos os resultados (e adicionando a constante de integração
), obtemos a primitiva.
Passo 8
A antiderivada final, reunindo os termos, é