1. \int \frac{(3 x+2) d x}{x(x+1)^{3}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot (resp. \quad 2 \ln |x|-\frac{1}{2(x+1)^{2}}+\frac{2}{x+1}-2 \ln |x+1|+C )

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{3x+2}{x(x+1)^{3}}\,dx,
e fornece como resultado esperado
2\ln|x|-\frac{1}{2(x+1)^{2}}+\frac{2}{x+1}-2\ln|x+1|+C.
Informações dadas relevantes:
  • A integral é racional (quociente de polinômios).
  • O denominador é x(x+1)^3, que tem fatores lineares simples e repetidos.

Passo 2

Quando temos uma função racional com denominador sendo produto de fatores lineares (alguns possivelmente repetidos), o método padrão é decompor em frações parciais. A forma geral da decomposição, neste caso, é
\frac{3x+2}{x(x+1)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{(x+1)^3},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Vou agora obter essas constantes.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por x(x+1)^3 para eliminar denominadores:
3x+2 = A(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + Dx.
Isto é uma identidade polinomial válida para todo x. Uma técnica rápida é usar valores de x que zerem fatores para obter algumas constantes diretamente.
Pegando x=0:
3\cdot 0 + 2 = A(0+1)^3 \quad\Rightarrow\quad 2 = A.
Pegando x=-1:
3(-1)+2 = D(-1) \quad\Rightarrow\quad -1 = -D \quad\Rightarrow\quad D = 1.
Agora já sabemos A=2 e D=1.

Passo 4

Com A\) e \(D\) conhecidos, substituo na identidade para encontrar \(B\) e \(C\): \[3x+2 = 2(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + 1\cdot x.
Posso obter duas equações escolhendo dois valores convenientes de x diferentes de 0 e -1. Escolho x=1 e x=2.
Para x=1:
3\cdot 1 + 2 = 2(2)^3 + B\cdot 1\cdot(2)^2 + C\cdot 1\cdot 2 + 1\cdot 1,
ou seja
5 = 16 + 4B + 2C + 1 \quad\Rightarrow\quad 4B + 2C = -12 \quad\Rightarrow\quad 2B + C = -6.
Para x=2:
3\cdot 2 + 2 = 2(3)^3 + B\cdot 2\cdot(3)^2 + C\cdot 2\cdot 3 + 1\cdot 2,
ou seja
8 = 54 + 18B + 6C + 2 \quad\Rightarrow\quad 18B + 6C = -48 \quad\Rightarrow\quad 3B + C = -8.
Agora resolvo o sistema
\begin{cases} 2B + C = -6,\\[4pt] 3B + C = -8. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: B = -2\]. Substituindo em \(2B + C = -6 2(-2) + C = -6\Rightarrow C = -2.
Portanto
A=2,\quad B=-2,\quad C=-2,\quad D=1.]

Passo 5

Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3}\,dx = \int\left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^3}\right)\,dx.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Vou lembrar as fórmulas básicas que vou usar (explicando rapidinho cada uma):
  • Integral de \dfrac{1}{x}: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Aqui a ideia é que a derivada de \ln|x| é 1/x.
  • Integral de \dfrac{1}{x+1}: mesma coisa por substituição; \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
  • Integral de (x+1)^{-n} com n\neq1: \displaystyle \int (x+1)^{-n}\,dx = \frac{(x+1)^{-n+1}}{-n+1}+C. Em particular:
    • \displaystyle \int (x+1)^{-2}\,dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+1}+C.
    • \displaystyle \int (x+1)^{-3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x+1)^2}+C.
Vou aplicar essas fórmulas a cada parcela.

Passo 7

Integro cada parcela:
  • \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  • \displaystyle \int \left(-\frac{2}{x+1}\right)\,dx = -2\ln|x+1|.
  • \displaystyle \int \left(-\frac{2}{(x+1)^2}\right)\,dx = -2\left(-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2}{x+1}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^3}\,dx = -\frac{1}{2(x+1)^2}.
Somando todos os resultados (e adicionando a constante de integração C), obtemos a primitiva.

Passo 8

A antiderivada final, reunindo os termos, é
2\ln|x| - 2\ln|x+1| + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{2(x+1)^2} + C.

Resposta

2\ln|x|-\dfrac{1}{2(x+1)^{2}}+\dfrac{2}{x+1}-2\ln|x+1|+C

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