1. \int \operatorname{tanh} x d x (resp. \quad \log (\operatorname{cosh} x)+C )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tanh} x\,\mathrm{d}x.
Não há outras condições; devemos achar uma primitiva (com constante de integração C).

Passo 2

Primeira ideia útil (identidade que vamos usar): escrever \operatorname{tanh} x em termos de seno e cosseno hiperbólicos. Pela definição,
\operatorname{tanh} x=\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}.
Aqui \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são as funções hiperbólicas padrão. Vou usar essa forma porque o numerador \operatorname{sinh} x aparece como a derivada da \operatorname{cosh} x (ou seja, a substituição fica natural).

Passo 3

Reescrevendo a integral usando a identidade:
\int \operatorname{tanh} x\,\mathrm{d}x=\int \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\,\mathrm{d}x.
Agora proponho a substituição típica para integrais do tipo \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x: escolha
u=\operatorname{cosh} x.
Calculemos \mathrm{d}u: como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x, temos
\mathrm{d}u=\operatorname{sinh} x\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Com essa substituição, o numerador \operatorname{sinh} x\,\mathrm{d}x é exatamente \mathrm{d}u. Assim a integral transforma-se em
\int \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.
A primitiva de 1/u é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u=\log|u|+C.

Passo 5

Voltando à variável x (substituindo u=\operatorname{cosh} x):
\log|u|+C=\log|\operatorname{cosh} x|+C.
Mas aqui vale uma observação importante: \operatorname{cosh} x\ge 1 para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, \operatorname{cosh} x é sempre positiva. Portanto podemos remover as barras de valor absoluto e escrever simplesmente
\log(\operatorname{cosh} x)+C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática antes da prova): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Calculando
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\log(\operatorname{cosh} x)\bigr)=\frac{1}{\operatorname{cosh} x}\cdot\operatorname{sinh} x=\operatorname{tanh} x,
o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 7

Observações úteis para a prova (dicas rápidas e memorização):
  • Sempre lembrar que \operatorname{tanh} x=\dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} e que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x. Isso torna a substituição u=\operatorname{cosh} x imediata.
  • Resultado análogo: \displaystyle \int \coth x\,\mathrm{d}x=\log(\operatorname{sinh} x)+C (com as mesmas observações sobre sinais/valores onde \operatorname{sinh} x muda de sinal).
  • Se esquecer a substituição, tente identificar padrões do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} — eles sempre geram \log|f(x)|.

Resposta

\log(\operatorname{cosh} x)+C

Exercícios relacionados