-
(resp.
)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a integral indefinida
Não há outras condições; devemos achar uma primitiva (com constante de integração
).
Passo 2
Primeira ideia útil (identidade que vamos usar): escrever
em termos de seno e cosseno hiperbólicos. Pela definição,
Aqui
e
são as funções hiperbólicas padrão. Vou usar essa forma porque o numerador
aparece como a derivada da
(ou seja, a substituição fica natural).
Passo 3
Reescrevendo a integral usando a identidade:
Agora proponho a substituição típica para integrais do tipo
: escolha
Calculemos
: como
, temos
Passo 4
Com essa substituição, o numerador
é exatamente
. Assim a integral transforma-se em
A primitiva de
é o logaritmo natural:
Passo 5
Voltando à variável
(substituindo
):
Mas aqui vale uma observação importante:
para todo
, ou seja,
é sempre positiva. Portanto podemos remover as barras de valor absoluto e escrever simplesmente
Passo 6
Verificação rápida (boa prática antes da prova): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Calculando
o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 7
Observações úteis para a prova (dicas rápidas e memorização):
- Sempre lembrar que
e que . Isso torna a substituição imediata. - Resultado análogo:
(com as mesmas observações sobre sinais/valores onde muda de sinal). - Se esquecer a substituição, tente identificar padrões do tipo
— eles sempre geram .