O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{\sin x + 2\cos x}\,dx.
Informações dadas: \displaystyle a função integranda é \frac{1}{\sin x + 2\cos x}.
Não há condições adicionais; queremos uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Ideia útil (identidade trigonométrica): uma combinação linear \displaystyle a\sin x + b\cos x pode ser escrita na forma \displaystyle R\sin(x+\varphi), onde R>0 e \varphi são tais que
a = R\cos\varphi,\qquad b = R\sin\varphi.
Por que isso funciona? Porque
R\sin(x+\varphi)=R(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)= (R\cos\varphi)\sin x + (R\sin\varphi)\cos x,
logo basta escolher R e \varphi com as identidades acima. Esta escrita transforma a soma de seno e cosseno numa única função seno deslocada, o que normalmente simplifica integrais.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a=1 e b=2. Calculamos R e \varphi.
Uma forma prática de escrever \varphi é \displaystyle \varphi=\arctan\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg)=\arctan 2 (note que, pela relação entre seno e cosseno acima, isso é compatível com o sinal e quadrante).
Portanto
\sin x + 2\cos x = \sqrt{5}\,\sin(x+\varphi),\qquad \varphi=\arctan 2.