\int \frac{1}{\sin x+2 \cos x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{\sin x + 2\cos x}\,dx.
Informações dadas:
\displaystyle a função integranda é \frac{1}{\sin x + 2\cos x}.
Não há condições adicionais; queremos uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Ideia útil (identidade trigonométrica): uma combinação linear \displaystyle a\sin x + b\cos x pode ser escrita na forma \displaystyle R\sin(x+\varphi), onde R>0 e \varphi são tais que
a = R\cos\varphi,\qquad b = R\sin\varphi.
Por que isso funciona? Porque
R\sin(x+\varphi)=R(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)= (R\cos\varphi)\sin x + (R\sin\varphi)\cos x,
logo basta escolher R e \varphi com as identidades acima. Esta escrita transforma a soma de seno e cosseno numa única função seno deslocada, o que normalmente simplifica integrais.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a=1 e b=2. Calculamos R e \varphi.
Calcule R:
R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Agora \varphi satisfaz
\cos\varphi=\frac{a}{R}=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{R}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Uma forma prática de escrever \varphi é \displaystyle \varphi=\arctan\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg)=\arctan 2 (note que, pela relação entre seno e cosseno acima, isso é compatível com o sinal e quadrante).
Portanto
\sin x + 2\cos x = \sqrt{5}\,\sin(x+\varphi),\qquad \varphi=\arctan 2.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando essa identidade:
\int \frac{1}{\sin x + 2\cos x}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{5}\,\sin(x+\varphi)}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\int \csc(x+\varphi)\,dx.
Aqui introduzi a função \csc que é \csc u = 1/\sin u. A integral reduziu-se a uma constante multiplicativa vezes \int \csc(\cdot).

Passo 5

Fazer a substituição simples u = x+\varphi. Então du=dx e a integral fica
\frac{1}{\sqrt{5}}\int \csc u\,du.
Agora precisamos achar uma primitiva para \csc u.

Passo 6

Vamos encontrar \displaystyle \int \csc u\,du de forma didática.
Truque clássico: multiplicar por uma expressão conveniente para obter uma derivada no numerador. Considere
\int \csc u\,du = \int \csc u\cdot\frac{\csc u + \cot u}{\csc u + \cot u}\,du = \int \frac{\csc^2 u + \csc u\cot u}{\csc u + \cot u}\,du.
Observe que a derivada de \csc u + \cot u é
\frac{d}{du}(\csc u + \cot u) = -\csc u\cot u - \csc^2 u = -(\csc^2 u + \csc u\cot u),
ou seja, o numerador acima é - vezes a derivada do denominador. Assim, a integral é
\int \csc u\,du = \int \frac{-(\csc u + \cot u)'}{\csc u + \cot u}\,du = -\ln\big|\csc u + \cot u\big| + C.

Passo 7

Existem formas equivalentes para a primitiva. Usando identidades de meia-ângulo, pode-se mostrar que
-\ln\big|\csc u + \cot u\big| = \ln\big|\tan\big(\tfrac{u}{2}\big)\big| + C.
Vou justificar rapidamente essa igualdade: escrevendo \csc u + \cot u em termos de u/2,
\csc u + \cot u = \frac{1}{\sin u} + \frac{\cos u}{\sin u} = \frac{1+\cos u}{\sin u}.
Usando as identidades de meia-ângulo \sin u = 2\sin\tfrac{u}{2}\cos\tfrac{u}{2} e 1+\cos u = 2\cos^2\tfrac{u}{2}, obtemos
\frac{1+\cos u}{\sin u} = \frac{2\cos^2\frac{u}{2}}{2\sin\frac{u}{2}\cos\frac{u}{2}} = \frac{\cos\frac{u}{2}}{\sin\frac{u}{2}} = \cot\frac{u}{2}.
Portanto \csc u + \cot u = \cot\frac{u}{2}, e assim
-\ln\big|\csc u + \cot u\big| = -\ln\big|\cot\tfrac{u}{2}\big| = \ln\big|\tan\tfrac{u}{2}\big| + C.
Então ambas as formas são corretas; eu vou usar a forma com \tan\big(\tfrac{u}{2}\big) por ser compacta.

Passo 8

Voltando à nossa integral:
\frac{1}{\sqrt{5}}\int \csc u\,du = \frac{1}{\sqrt{5}}\ln\bigg|\tan\bigg(\frac{u}{2}\bigg)\bigg| + C.
Substituindo u=x+\varphi e lembrando \varphi=\arctan 2, obtemos a primitiva final:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\left|\tan\!\left(\frac{x+\arctan 2}{2}\right)\right| + C.}

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\left|\tan\!\left(\frac{x+\arctan 2}{2}\right)\right| + C

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