Determine a área da limitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a área da região limitada pelas curvas
e
".
Informações dadas: as duas curvas cujas equações são e
.
Pergunta explícita: calcular a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.
Informações dadas: as duas curvas cujas equações são
Pergunta explícita: calcular a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, resolvendo a equação obtida igualando-as:
Subtraindo
de ambos os lados e reorganizando:
Fatorando:
Logo, as abscissas de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora encontramos as ordenadas dessas interseções usando, por exemplo, a reta
:
Para :
. Então ponto
.
Para :
. Então ponto
.
Para :
. Então ponto
.
Para
Para
Para
Passo 4
Precisamos saber, em cada intervalo entre essas abscissas, qual curva está “por cima” (maior
) para montar a integral da área como
.
Testamos um ponto em
, por exemplo
:
Como
, a cúbica está acima da reta no intervalo
.
Testamos um ponto em
, por exemplo
:
Como
, a reta está acima da cúbica no intervalo
.
Passo 5
Montamos a integral da área como soma das áreas nos dois pedaços:
As constantes
se cancelam em cada integrando, então simplificamos:
Passo 6
Observação de simetria para simplificar os cálculos: a função
é ímpar, pois
. Portanto
é par e a área entre
e
é simétrica em torno de
. Assim podemos escrever
Passo 7
Agora calculamos a integral. Lembremos da regra básica de integração:
para
. Aplicando termo a termo:
Avaliamo de
a
:
Multiplicando por
(pela simetria):