Determine a área da limitada pelas curvas y=x^{3}+8, y=4 x+8

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}+8 e y=4x+8".
Informações dadas: as duas curvas cujas equações são y=x^{3}+8 e y=4x+8.
Pergunta explícita: calcular a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, resolvendo a equação obtida igualando-as:
x^{3}+8 = 4x+8.
Subtraindo 8 de ambos os lados e reorganizando:
x^{3}-4x=0.
Fatorando:
x(x^{2}-4)=0
x(x-2)(x+2)=0.
Logo, as abscissas de interseção são x=-2, x=0 e x=2.

Passo 3

Agora encontramos as ordenadas dessas interseções usando, por exemplo, a reta y=4x+8:
Para x=-2: y=4(-2)+8 = -8+8 = 0. Então ponto (-2,0).
Para x=0: y=4(0)+8 = 8. Então ponto (0,8).
Para x=2: y=4(2)+8 = 8+8 = 16. Então ponto (2,16).

Passo 4

Precisamos saber, em cada intervalo entre essas abscissas, qual curva está “por cima” (maior y) para montar a integral da área como \int (\text{top} - \text{bottom})\,dx.
Testamos um ponto em (-2,0)\to(0,8), por exemplo x=-1:
y_{\text{cúbica}}(-1)=(-1)^{3}+8= -1+8=7,ú
y_{\text{reta}}(-1)=4(-1)+8=-4+8=4.
Como 7>4, a cúbica está acima da reta no intervalo (-2,0).
Testamos um ponto em (0,8)\to(2,16), por exemplo x=1:
y_{\text{cúbica}}(1)=1^{3}+8=9,ú
y_{\text{reta}}(1)=4(1)+8=12.
Como 12>9, a reta está acima da cúbica no intervalo (0,2).

Passo 5

Montamos a integral da área como soma das áreas nos dois pedaços:
\text{Área}=\int_{-2}^{0}\bigl((x^{3}+8)-(4x+8)\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl((4x+8)-(x^{3}+8)\bigr)\,dx.Á
As constantes +8 se cancelam em cada integrando, então simplificamos:
\text{Área}=\int_{-2}^{0}\bigl(x^{3}-4x\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl(4x-x^{3}\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Observação de simetria para simplificar os cálculos: a função g(x)=x^{3}-4x é ímpar, pois g(-x)=-g(x). Portanto |g(x)| é par e a área entre -2 e 2 é simétrica em torno de 0. Assim podemos escrever
\text{Área}=2\int_{0}^{2}\bigl(4x-x^{3}\bigr)\,dx.Á

Passo 7

Agora calculamos a integral. Lembremos da regra básica de integração: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando termo a termo:
\int\bigl(4x-x^{3}\bigr)\,dx = \int 4x\,dx - \int x^{3}\,dx = 2x^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C.
Avaliamo de 0 a 2:
\left[2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \left(2\cdot 2^{2} - \frac{2^{4}}{4}\right) - 0 = \left(2\cdot 4 - \frac{16}{4}\right) = (8 - 4) = 4.
Multiplicando por 2 (pela simetria):
\text{Área}=2\cdot 4 = 8.Á

Resposta

8

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