Determine a solução dos P.V.I.'s:
\dot{y}+y=\frac{1}{1+t^{2}}, \quad y(1)=3.

Passo 1

Enunciado: resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
\dot{y}+y=\frac{1}{1+t^{2}},\qquad y(1)=3.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem com derivada indicada por \dot{y} (ou seja, \dot{y}=\dfrac{dy}{dt}).
  • O termo linear em y é +y.
  • O termo independente (fonte) é \dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • A condição inicial é y(1)=3.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • Esta equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\dot{y}+p(t)\,y=q(t),
onde aqui p(t)=1 e q(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • O método eficiente é o do fator integrante: definimos um fator \mu(t) tal que ao multiplicarmos a equação por \mu(t) a parte à esquerda fique exatamente como a derivada de um produto \dfrac{d}{dt}(\mu(t)y(t)).
  • A fórmula do fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Vou aplicar isso passo a passo e explicar cada operação.

Passo 3

Cálculo do fator integrante:
  • Temos p(t)=1, então
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 1\,dt\Big)=\exp(t)=e^{t}.
Explicação: \int 1\,dt = t + C, podemos escolher a constante de integração C=0 pois fatores escalares se anulam no procedimento; portanto \mu(t)=e^{t}.

Passo 4

Multiplicando a E.D. pelo fator integrante e usar a regra do produto:
  • Multiplicando a equação original por e^{t} obtemos
e^{t}\dot{y}+e^{t}y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
  • Pela regra do produto, a derivada de e^{t}y(t) é
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y(t)\big)=e^{t}\dot{y}+e^{t}y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y(t)\big)=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
Explicação: transformamos a esquerda numa derivada simples, o que facilita integrar.

Passo 5

Integrar ambos os lados (uso de integração definida para incorporar a condição inicial):
  • Integramos em relação a s de s=1 até s=t (usar s como variável de integração evita confusão):
\int_{1}^{t}\frac{d}{ds}\big(e^{s}y(s)\big)\,ds=\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds.
  • A integral do lado esquerdo é imediata pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
e^{t}y(t)-e^{1}y(1)=\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds.
  • Agora uso a condição inicial y(1)=3:
e^{t}y(t)-e\cdot 3=\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds.

Passo 6

Isolar y(t) e escrever a solução final (comentário sobre a integral):
  • Isolando y(t),
e^{t}y(t)=3e+\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds,
portanto
y(t)=e^{-t}\left(3e+\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\right).
  • Observação didática: a integral \displaystyle\int \frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds não possui uma primitiva elementar conhecida (não se expressa em termos finitos de funções elementares básicas). Por isso deixamos a solução na forma com integral definida. Essa forma é perfeitamente aceita em provas de equações diferenciais — ela dá a solução explícita e satisfaz a condição inicial.
  • Se alguém preferir ver a forma geral sem condição inicial, a solução geral é
y(t)=e^{-t}\left(C+\int^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\right),
onde C é constante; a condição y(1)=3 leva ao valor C=3e.

Passo 7

Verificação rápida do valor inicial (confirmação):
  • Avaliando a solução em t=1,
y(1)=e^{-1}\left(3e+\int_{1}^{1}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\right)=e^{-1}(3e+0)=3,
logo a condição inicial fica satisfeita.

Resposta

y(t)=e^{-t}\left(3e+\int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\right)

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