Determine a solução dos P.V.I.'s:
.
Passo 1
Enunciado: resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é de primeira ordem com derivada indicada por
(ou seja, ). - O termo linear em
é . - O termo independente (fonte) é
. - A condição inicial é
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- Esta equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde aqui
e
.
- O método eficiente é o do fator integrante: definimos um fator
tal que ao multiplicarmos a equação por a parte à esquerda fique exatamente como a derivada de um produto . - A fórmula do fator integrante é
Vou aplicar isso passo a passo e explicar cada operação.
Passo 3
Cálculo do fator integrante:
- Temos
, então
Explicação:
, podemos escolher a constante de integração
pois fatores escalares se anulam no procedimento; portanto
.
Passo 4
Multiplicando a E.D. pelo fator integrante e usar a regra do produto:
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- Pela regra do produto, a derivada de
é
Logo a equação fica
Explicação: transformamos a esquerda numa derivada simples, o que facilita integrar.
Passo 5
Integrar ambos os lados (uso de integração definida para incorporar a condição inicial):
- Integramos em relação a
de até (usar como variável de integração evita confusão):
- A integral do lado esquerdo é imediata pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
- Agora uso a condição inicial
:
Passo 6
Isolar
e escrever a solução final (comentário sobre a integral):
- Isolando
,
portanto
- Observação didática: a integral
não possui uma primitiva elementar conhecida (não se expressa em termos finitos de funções elementares básicas). Por isso deixamos a solução na forma com integral definida. Essa forma é perfeitamente aceita em provas de equações diferenciais — ela dá a solução explícita e satisfaz a condição inicial. - Se alguém preferir ver a forma geral sem condição inicial, a solução geral é
onde
é constante; a condição
leva ao valor
.
Passo 7
Verificação rápida do valor inicial (confirmação):
- Avaliando a solução em
,
logo a condição inicial fica satisfeita.