\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição ( mudança de variável ) para simplificar a raiz que envolve \ln x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 1 + \ln x,
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dt = d(\ln x) = \frac{dx}{x}.
Precisamos também ajustar os limites: quando x=1, t = 1 + \ln 1 = 1; quando x=e, t = 1 + \ln e = 2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx = \int_{t=1}^{t=2} \sqrt{t}\;dt = \int_{1}^{2} t^{\tfrac12}\,dt.
Agora basta integrar a potência:

Passo 4

Calcular
\int_{1}^{2} t^{\tfrac12}\,dt = \left[\frac{2}{3}\,t^{\tfrac{3}{2}}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{\tfrac{3}{2}} - 1^{\tfrac{3}{2}}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(2\sqrt{2} - 1\bigr).

Resposta

\frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

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