\int x \sqrt{x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{x+3}\,dx,
que é um problema de integração usando substituição e aplicação da regra de potência. Vamos definir uma nova variável para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 3,
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x = u - 3 \quad\text{e}\quad dx = du.
A integral em x passa a ser em u.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x \sqrt{x+3}\,dx = \int (u - 3)\,\sqrt{u}\,du.
Reescrevendo \sqrt{u}=u^{1/2}, fica
\int (u - 3)\,u^{1/2}\,du = \int \bigl(u^{3/2} - 3u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potência \int u^n du = u^{n+1}/(n+1):
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int -3u^{1/2}\,du = -3\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = -2u^{3/2}.
Somando os resultados, a primitiva em u é
\frac{2}{5}u^{5/2} \;-\; 2u^{3/2} \;+\; C.

Passo 5

Voltando à variável original x (onde u = x+3), obtemos
\frac{2}{5}(x+3)^{5/2} \;-\; 2(x+3)^{3/2} \;+\; C.

Resposta

\int x \sqrt{x+3}\,dx = \frac{2}{5}(x+3)^{5/2} \;-\; 2(x+3)^{3/2} + C.

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