1. \int \frac{d x}{\sqrt{5-7 x-3 x^{2}}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot\left(\operatorname{resp} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin [(6 x+7) / \sqrt{109}]+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^2}}.
O conteúdo principal aqui é “completar o quadrado” no radicando para transformar a expressão num tipo \sqrt{a^2 - (\,\cdot\,)^2} e então usar a substituição que leva ao arco-seno, sabendo que
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) + C.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar o polinômio dentro da raiz em forma de quadrado perfeito. Note que
5 - 7x - 3x^2 = -\bigl(3x^2 + 7x - 5\bigr).
Fatorando o -3, temos
5 - 7x - 3x^2 = -3\Bigl(x^2 + \tfrac{7}{3}x - \tfrac{5}{3}\Bigr).

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x^2 + \tfrac{7}{3}x - \tfrac{5}{3}. Calculamos
x^2 + \tfrac{7}{3}x - \tfrac{5}{3} = \Bigl(x + \tfrac{7}{6}\Bigr)^2 - \Bigl(\tfrac{7}{6}\Bigr)^2 - \tfrac{5}{3} = \Bigl(x + \tfrac{7}{6}\Bigr)^2 - \tfrac{49}{36} - \tfrac{60}{36} = \Bigl(x + \tfrac{7}{6}\Bigr)^2 - \tfrac{109}{36}.
Assim
5 - 7x - 3x^2 = -3\Bigl[\,(x + \tfrac{7}{6})^2 - \tfrac{109}{36}\Bigr] = -3(x + \tfrac{7}{6})^2 + \tfrac{109}{12}.

Passo 4

Reescrevendo a raiz, fica
\sqrt{5 - 7x - 3x^2} = \sqrt{\tfrac{109}{12} - 3\bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^2} = \frac{\sqrt{109}}{2\sqrt{3}}\, \sqrt{\,1 - \frac{36}{109}\,(x + \tfrac{7}{6})^2\,}.
Logo a integral vira
\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^2}} = \int \frac{dx}{\frac{\sqrt{109}}{2\sqrt{3}}\, \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{6(x + 7/6)}{\sqrt{109}}\bigr)^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{109}} \int \frac{dx}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{6x + 7}{\sqrt{109}}\bigr)^2}}.

Passo 5

Fazemos a substituição
u = \frac{6x + 7}{\sqrt{109}}, \quad du = \frac{6}{\sqrt{109}}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{\sqrt{109}}{6}\,du.
Então
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{109}} \int \frac{dx}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{109}} \cdot \frac{\sqrt{109}}{6} \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{6} \arcsin(u) + C = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\arcsin\!\bigl(u\bigr) + C.

Passo 6

Voltando a x, temos u=(6x+7)/\sqrt{109}, então a integral final é
\frac{\sqrt{3}}{3}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{6x+7}{\sqrt{109}}\Bigr) + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\, \arcsin\!\Bigl(\frac{6x+7}{\sqrt{109}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\, \arcsin\!\Bigl(\frac{6x+7}{\sqrt{109}}\Bigr) + C.

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