1. \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .\left(\right. resp. \left.\quad-\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+2 \operatorname{arcsen}(x / 2)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolve manipulação algébrica de frações com raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} e aplicação de primitivas conhecidas.

Passo 2

Reescrevemos x^{2} como
x^{2} = 4 - (4 - x^{2}),
de modo que
\frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 - x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}.
Assim,
I = 4 \int (4 - x^{2})^{-\tfrac12}\,dx - \int (4 - x^{2})^{\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral usamos a primitiva de (a^{2}-x^{2})^{-1/2}, que é \arcsin(x/a). Com a=2:
4 \int (4 - x^{2})^{-\tfrac12}\,dx = 4 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Para a segunda aplicamos a fórmula
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.
Com a=2,
\int (4 - x^{2})^{\tfrac12}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + 2 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 4

Subtraindo a segunda da primeira e combinando constantes,
I = 4 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) - \Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + 2 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr] + C = -\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + 2 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + 2 \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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