Pede-se calcular a primitiva (antiderivada) da função x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{5x^{2}-x-1}}.
A integral a operar é \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{5x^{2}-x-1}}.
Vou chamar a expressão dentro da raiz de Q(x), ou seja \displaystyle Q(x)=5x^{2}-x-1.
O objetivo final é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{Q(x)}}.
Passo 2
Ideia do método e uma fórmula-atalho que usaremos (explicada passo a passo).
Para integrais do tipo \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}} com a>0 existe uma primitiva com um logaritmo natural. Vou apresentar e demonstrar essa forma geral:
a,b,c são os coeficientes do polinómio quadrático ax^{2}+bx+c;
\sqrt{ax^{2}+bx+c} é a raiz quadrada positiva da expressão quadrática (no intervalo onde faz sentido);
C é a constante de integração.
Vou provar que essa F(x) é de fato uma primitiva da função 1/\sqrt{ax^{2}+bx+c}. Isso nos dará uma fórmula pronta que podemos aplicar com a=5, b=-1, c=-1.
Passo 3
Demonstração de que a fórmula funciona (derivação passo a passo).
Seja Q(x)=ax^{2}+bx+c e defina
U(x)=2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}.
Então o candidato é F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ln\!\bigl(U(x)\bigr).
Diferenciando por regra da cadeia e da derivada do logaritmo:
Pode-se também escrever a raiz dentro do log como \sqrt{5\bigl(5x^{2}-x-1\bigr)} se preferir a forma dada no enunciado; ambas escritas são equivalentes (lembrando que \sqrt{5}\sqrt{5x^{2}-x-1}=\sqrt{5(5x^{2}-x-1)}).