1. \int \frac{d x}{\sqrt{5 x^{2}-x-1}} (resp. \frac{1}{\sqrt{5}} \log \left|10 x-1+2 \sqrt{5\left(5 x^{2}-x-1\right)}\right|+C )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a primitiva (antiderivada) da função x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{5x^{2}-x-1}}.
  • A integral a operar é \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{5x^{2}-x-1}}.
  • Vou chamar a expressão dentro da raiz de Q(x), ou seja \displaystyle Q(x)=5x^{2}-x-1.
  • O objetivo final é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{Q(x)}}.

Passo 2

Ideia do método e uma fórmula-atalho que usaremos (explicada passo a passo).
  • Para integrais do tipo \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}} com a>0 existe uma primitiva com um logaritmo natural. Vou apresentar e demonstrar essa forma geral:
\text{(candidato)}\quad F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ln\!\bigl(2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{ax^{2}+bx+c}\bigr)+C.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • a,b,c são os coeficientes do polinómio quadrático ax^{2}+bx+c;
    • \sqrt{ax^{2}+bx+c} é a raiz quadrada positiva da expressão quadrática (no intervalo onde faz sentido);
    • C é a constante de integração.
  • Vou provar que essa F(x) é de fato uma primitiva da função 1/\sqrt{ax^{2}+bx+c}. Isso nos dará uma fórmula pronta que podemos aplicar com a=5, b=-1, c=-1.

Passo 3

Demonstração de que a fórmula funciona (derivação passo a passo).
  • Seja Q(x)=ax^{2}+bx+c e defina
U(x)=2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}.
  • Então o candidato é F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ln\!\bigl(U(x)\bigr).
  • Diferenciando por regra da cadeia e da derivada do logaritmo:
F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{U'(x)}{U(x)}.
  • Calcular U'(x). Note que \dfrac{d}{dx}\sqrt{Q(x)}=\dfrac{Q'(x)}{2\sqrt{Q(x)}} (regra da cadeia).
    • Assim
    U'(x)=2a + 2\sqrt{a}\cdot\dfrac{Q'(x)}{2\sqrt{Q(x)}}=2a+\sqrt{a}\,\dfrac{Q'(x)}{\sqrt{Q(x)}}.
  • Agora escrevemos \dfrac{U'(x)}{U(x)} e simplificamos. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{Q(x)} para limpar raízes:
\frac{U'(x)}{U(x)} = \frac{2a+\sqrt{a}\,\dfrac{Q'(x)}{\sqrt{Q(x)}}}{2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}} = \frac{2a\sqrt{Q(x)}+\sqrt{a}\,Q'(x)}{\bigl(2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}\bigr)\sqrt{Q(x)}}.
  • Agora usamos Q'(x)=2ax+b. Substituindo:
2a\sqrt{Q(x)}+\sqrt{a}\,Q'(x) =2a\sqrt{Q(x)}+\sqrt{a}(2ax+b) =\sqrt{a}\bigl(2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}+2ax+b\bigr).
  • Observe que o fator \bigl(2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}+2ax+b\bigr) é exatamente o mesmo que aparece no denominador (embora em ordem trocada). Assim:
\frac{U'(x)}{U(x)} = \frac{\sqrt{a}\bigl(2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}+2ax+b\bigr)}{\bigl(2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{Q(x)}\bigr)\sqrt{Q(x)}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{Q(x)}}.
  • Finalmente,
F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{U'(x)}{U(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{Q(x)}}=\dfrac{1}{\sqrt{Q(x)}}.
  • Isso mostra que F(x) é de fato uma primitiva de 1/\sqrt{ax^{2}+bx+c}.

Passo 4

Aplicação ao caso concreto 5x^{2}-x-1.
  • No nosso problema temos a=5, b=-1, c=-1 e Q(x)=5x^{2}-x-1.
  • Aplicando a fórmula geral com esses valores obtemos a primitiva
F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\bigl(2\cdot 5x+(-1)+2\sqrt{5}\sqrt{5x^{2}-x-1}\bigr)+C.
  • Simplificando os termos:
2\cdot 5x+(-1)=10x-1,
então
F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\bigl(10x-1+2\sqrt{5}\sqrt{5x^{2}-x-1}\bigr)+C.
  • Pode-se também escrever a raiz dentro do log como \sqrt{5\bigl(5x^{2}-x-1\bigr)} se preferir a forma dada no enunciado; ambas escritas são equivalentes (lembrando que \sqrt{5}\sqrt{5x^{2}-x-1}=\sqrt{5(5x^{2}-x-1)}).

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}\log\left|10x-1+2\sqrt{5\left(5x^{2}-x-1\right)}\right|+C

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